\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-text}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P. }
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie~\decofourright\\ juin 2007}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer trois réels $a,\: b$ et $c$ tels que pour tout nombre complexe $z$ on ait : $z^3  - 8 = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)$.

En déduire la résolution dans $\C$ de l'équation $z^3 - 8 = 0$.
\item  Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité 2 cm), on considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = 2$, B d'affixe $z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et C d'affixe 

$z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$.

	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B et C
		\item  Déterminer la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item  On considère la rotation $R$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ et on appelle A$'$, B$'$ et C$'$ les images respectives de A, B et C par $R$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les formes exponentielles de $z_{\text{A}},\:z_{\text{B}}$, et $z_{\text{C}}$ puis de $z_{\text{A}'},\: z_{\text{B}'}$, et $z_{\text{C}'}$.
		\item  Placer A$'$, B$'$ et C$'$ sur la figure précédente.
		\item  Vérifier que $z_{\text{A}'}, \:z_{\text{B}'}$, et $z_{\text{C}'}$ sont solutions de l'équation $z^3 = 8\text{i}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}
 
\bigskip

\textbf{Partie A}
 
\medskip

En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise A s'élevait à \np{230000} euros.

Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de \np{15000} euros.

\begin{enumerate}
\item  Calculer le chiffre d'affaires $u_{1}$ en 1991.
\item  Soit $u_{n}$ le chiffre d'affaires de l'année $1990 + n$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser le
premier tenue $u_{0}$ et la raison $a$ de cette suite.
\item  Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise A.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise B s'élevait à \np{150000} euros.

Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de 7,4\,\%.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le chiffre d'affaires $v_{1}$ en 1991.
\item  Soit $v_{n}$ le chiffre d'affaires de l'année $1990 + n$.

Justifier que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,074$.
\item  Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise B.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item  Que constate-t-on en 2006 pour les entreprises A et B ?
\item  En 2006, le chef de l'entreprise B affirme qu'à ce rythme son entreprise aura dans 15 ans, un chiffre d'affaires pratiquement double de celui de l'entreprise A. A-t-il raison ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème  \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = x^2+3x - 4 + 4\ln x.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $g$ en $0$ et $+ \infty$.
\item  Soit $g'$ la dérivée de $g$. Montrer que $g'(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 4}{x}$.
\item  Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item  Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par
 
 \[f(x) = x +  3\ln (x) - \dfrac{4\ln (x)}{x}.\]
  
On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité $3$~cm).
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $0$ ; on remarquera que $f(x) = x+ \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)\ln x$.

Que peut-on en déduire ?
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ strictement positif $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item  En utilisant les résultats de la partie A, étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  On rappelle que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,~ f(x)=x+ \left(3 - \dfrac{4}{x}\right)\ln x$.

Donner les solutions dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation $f(x) = x$.
\item  Tracer $(\mathcal{C})$ et la droite d'équation $y = x$.
\item  Interpréter graphiquement le résultat de la question 3.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[ F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + 3x\ln x - 2(\ln x)^2\]

 est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item  On considère dans le plan le domaine $(\mathcal{D})$ délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = $e.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer le domaine $(\mathcal{D})$.
		\item  Calculer l'aire du domaine $(\mathcal{D})$ en unités d'aires puis en cm$^2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}