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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane septembre 2007~\decofourright\\Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Dans un atelier, deux machines M$_{1}$ et
M$_{2}$ produisent le même type de pièces.

La machine M$_{1}$ fournit les $\dfrac{4}{5}$ de la production.

Parmi les pièces produites, certaines sont défectueuses. C'est le cas pour $5$\,\% de celles produites par M$_{1}$ et $4$\,\% de celles produites par M$_{2}$.

\begin{enumerate}
\item L'atelier produit \np{1000} pièces par jour. Reproduire et compléter le tableau d'effectif suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}|c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de pièces	 produites par M$_{1}$&Nombre de pièces	 produites par M$_{2}$&Total\\ \hline
Nombre de pièces défectueuses		&40	&	8	&\\ \hline
Nombre de pièces non défectueuses	&		&		&\\ \hline
Total								&		&		&\np{1000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item 	On choisit au hasard une pièce parmi la production totale de l'atelier d'un jour donné.
	Calculer la probabilité des évènements suivants
	\begin{enumerate}
		\item  A : \og la pièce choisie est produite par M1 \fg.
		\item  B : \og la pièce choisie est défectueuse \fg.
		\item 	On sait que la pièce choisie a été produite par M$_{1}$. Quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas défectueuse ?
	 \end{enumerate}
\item 	En sortie de chaîne de production chaque pièce coûte 38 \euro{} à l'atelier. Les pièces qui sont défectueuses doivent être réparées pour être mises sur le marché. La réparation 	coûte 4,30~\euro{} pour une pièce fabriquée par M$_{1}$ et $4,50$~\euro{} pour une pièce fabriquée par M$_{2}$.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque pièce associe son coût de revient.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les trois valeurs prises par X  ?
		\item  Donner la loi de probabilité de X.
		\item  Calculer E(X), espérance mathématique de X.
		\item 	Quel doit être, au centime près, le prix minimal de vente d'une pièce pour que l'atelier ne vende pas à perte ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[ f(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} -6.\]

 On note $f'$ sa fonction dérivée sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on a pour tout nombre réel $x,$

$f'(x) =  \text{e}^{x}\left(2\text{e}^{x}  - 1\right)$.
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
		\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ (on pourra mettre en facteur le nombre $\text{e}^{x}$ dans l'expression de $f(x)$).
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en précisant les limites de $f$.
		\item Écrire le calcul qui montre que le minimum de la fonction $f$ sur $\R$ est égal à $\dfrac{-25}{4}$.
		\item D'après le tableau de variation de la fonction $f$, quel est le nombre de solutions sur $\R$ de l'équation (E$_{1}$) suivante:
\[(\text{E}_{1}) \quad :\quad  f(x) = 0.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

On considère deux droites parallèles $d_{1}$ et $d_{2}$. Le point O appartient à la droite $d_{1}$ et le point A appartient la droite $d_{2}$ comme indiqué sur la figure ci-dessous. On note H le point d'intersection de la droite $d_{2}$ et de la perpendiculaire à la droite $d_{2}$ passant par le point O (on dit que le point H est le projeté orthogonal du point O sur la droite $d_{2}$). La distance OH vaut 3 (OH $= 3$).

\medskip

On considère un point $M$, distinct du point H, sur la demi-droite [HA) d'origine H et on note $x$ l'angle variable $\widehat{\text{H}M\text{O}}$.

Le nombre $x$ appartient donc à l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\psline(0,0)(8,0) \psline(0,3)(8,3)
\psline(1,0)(6,3) \psline[linestyle=dashed](6,3)(6,0)
\psline(5.8,0)(5.8,0.2)(6,0.2)
\uput[dl](0,0){A} \uput[ul](1,0){$M$} \uput[d](6,0){H} \uput[r](6,1.5){$3$} \uput[u](6,3){O} \rput(2.25,0.36){$x$} \uput[u](0,3){$d_{1}$} \uput[d](8,0){$d_{2}$}
\psarc(1,0){1cm}{0}{31} 
\qdisk(0,0){1.75pt}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
\textbf{Partie I :   conjecture puis vérification}

\begin{enumerate}
\item Selon vous, comment varie la longueur O$M$ en fonction de l'angle $x$ ? (aucune justification mathématique n'est demandée) 
\item 	Calculer O$M$ lorsque $x = \dfrac{\pi}{3}$.
\item Exprimer O$M$ en fonction de $x$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$ par $f(x) = \dfrac{3}{\sin x}$.

Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[,~ f'(x) = \dfrac{-3\cos x}{\sin^2 x}$.

Étudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variations. (\emph{On ne demande pas de préciser la limite en} $0$.)
\item  Recopier puis compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ arrondies au dixième près.

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&$\dfrac{\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{4}$&$1$		&$\dfrac{\pi}{2}$\\ \hline
$f(x)$&				&					&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item   Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$ dans un repère
orthonormal \Oij. Prendre $2$~cm pour unité graphique.
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{Partie II : Calcul d'un volume}

\medskip

On veut calculer la valeur exacte du volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses.

On rappelle que le volume $V$ de ce solide, en unités de volume, est donné par la formule :

\[V =  \pi\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}[f(x)]^2\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer la dérivée de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{6}~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ 	par 

$g(x) = - \dfrac{\cos x}{\sin x}$.

En déduire une primitive $H$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{6}~ ;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ de la fonction $h$ définie par

\[h(x) =  [f(x)]^2.\]

\item  Calculer la valeur exacte du volume $V$ en cm$^3$, puis une valeur arrondie au mm$^3$.
\end{enumerate}
\end{document} 