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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2007~\decofourright\\Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-0.2)(2.5,2.5)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-0.5,0)(0,2)(0.5,2) 
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{2}{1.2 x div 0.4 sub}
\psline(2,0.2)(2,0)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,2)
\psline[linestyle=dashed](0,0.2)(2,0.2)
\uput[d](0.5,0){0,5} \uput[l](0,0.2){0,2}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

Une entreprise veut réaliser les deux montants latéraux d'un toboggan. La courbe qui modélise le toboggan est définie comme une partie de la représentation graphique $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ dans un repère orthonormé adapté.

\medskip

\textbf{Question préliminaire}

\medskip

La partie utile de la courbe $(\mathcal{C})$ qui modélise le toboggan est délimitée par les points de coordonnées (0,5~;~ 2) et (2~;~ 0,2) comme le suggère le schéma ci-dessus.

La fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, par 

\[f(x) = a + \dfrac{b}{x},\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
 
Déterminer $a$ et $b$.
 
\bigskip

\textbf{Partie A. Étude de fonction}

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0,5~;~ 2] par:

\[f(x) = - 0,4 + \dfrac{1,2}{x}.\]


On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~ 2].
\item  Étudier le sens le variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~ 2].
\item  Déterminer une équation de la tangente $T_{1}$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0,5$ et une équation de la tangente $T_{2}$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $2$.
\item   Tracer, dans le repère indiqué, les droites $T_{1}$ et $T_{2}$, ainsi que la courbe $(\mathcal{C})$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~ 2].
		\item  Montrer que l'aire exprimée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0,5$ et $x = 2$, vaut $2,4 \ln 2 - 0,6$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B. Étude de la masse perdue en production}

\medskip

Les montants sont réalisés dans des plaques de métal rectangulaires de 2,5~m sur 1,5~m.

On suppose que chaque plaque a une masse de 500~kg.
 
Chaque plaque permet de fabriquer deux montants comme indiqué sur le dessin ci-après. Les surfaces $S_{1}$ et $S_{2}$ de taille identique, correspondent aux deux montants latéraux d'un toboggan et la surface $S_{3}$ restante est perdue.
  
D'après la partie A, la valeur exacte, en m$^2$, de l'aire de la surface $S_{1}$est $2,4 \ln 2 - 0,6$.
   
\medskip
   
\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(2,2.5)
%\psgrid
\psframe(0.5,0)(2,2.5)
\def\montant{\psline(1.5,0)(0.5,0)(0.5,2)\psplot{0.5}{2}{1.2 x div 0.4 sub} }
\psline(1.5,0)(0.5,0)(0.5,2)\psplot{0.5}{2}{1.2 x div 0.4 sub}
\rput{180}(2.5,2.5){\montant}
\rput(1,0.5){$S_{1}$} \rput(1.25,1.25){$S_{3}$} \rput(1.5,2){$S_{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une valeur approchée à $10^{-4}$ près de l'aire en m$^2$ de la surface restante $S_{3}$ est égale à \np{1,6229}.
\item Déterminer la masse de la partie inutilisée de la plaque correspondant à la surface $S_{3}$.
\end{enumerate}
\end{document}