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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
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\lhead{\small Baccalauréat STI }
\rhead{\small Génie mécanique, civil, énergétique}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 2001}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~STI Métropole septembre   2001~\decofourright\\Génie mécanique, civil, énergétique }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E) $y'' + \dfrac{1}{4}y = 0$ dans
laquelle l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de (E) vérifiant : $f(0) = 1$ et $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
\item  Vérifier que, pour tout réel $x,~ f(x) = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{1}{2}x  - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item 	étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2} ~;~\dfrac{\pi}{2}\right].$
\item 	On munit le plan d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $4$~cm). Tracer la courbe représentant la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{2} ~;~ \dfrac{\pi}{2}\right]$ (sur papier millimétré).
\item  Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des points $M(x ~;~ y)$ du plan tels que $- \dfrac{\pi}{2} \leqslant 	x \leqslant \dfrac{\pi}{2}$ 	et

$0 \leqslant y	\leqslant f(x)$.

Calculer, en cm$^3$, le volume $\mathcal{V}$ du solide de révolution engendré par la rotation de autour de l'axe (O$x$).\\
(On rappelle qu'en cm$^3$ : $\mathcal{V} = 64\pi \displaystyle\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}  [f(x)]^2\: \text{d}x).$
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Une urne U$_{1}$ contient 5 boules numérotées 1, 2, 3, 4 et 5. Une urne U$_{2}$ contient trois boules numérotées 2, 3 et 4. Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans chaque urne. Dans chaque urne, chaque boule a la même probabilité d'être tirée.

Si la boule tirée dans l'urne U$_{1}$ porte les numéros 1 ou 5, le joueur ne gagne rien. Si les deux numéros tirés sont identiques, le joueur reçoit $50$~euros. Dans tous les autres cas, le joueur gagne $20$~euros.

\begin{enumerate}
\item 	Compléter le tableau ci-dessous indiquant, en fonction du tirage, le gain du joueur.
\item 	On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage des deux boules associe le gain	du joueur.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item   Calculer l'espérance de $X$. 
		\item   Avant de jouer, chaque participant doit
payer $15$~euros. Le joueur a-t-il alors intérêt à participer à ce jeu ? 
		\item   Quelle somme faudrait-il attribuer au joueur dans le cas où les deux numéros seraient identiques, pour que le jeu soit équitable (gain de $0$~euro et $20$~euros ne changeant pas) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\diagbox{U$_{1}$}{U$_{2}$}		&2		&3			&4\\ \hline
1								&		&			&\\\hline
2								&		&			&$20$\\ \hline
3								&		&			&\\ \hline
4								&		&			&\\ \hline
5								&		&$0$		&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip
	
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = x \text{e}^{-x}  +x\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité : $1$~cm.

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[g(x) = (1 - x)\text{e}^{-x} + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$, puis étudier le signe de $g(x)$.
\item Calculer $g(2)$. Dresser le tableau de variations de $g$ (les limites en $+\infty$ en $- \infty$ ne	sont pas demandées). En déduire le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B : étude de \boldmath $f$ \unboldmath et représentation graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
\item Calculer $f'(x)$. Vérifier que $f'(x) = g(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.
\item Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$.
\item Tracer dans le repère \Oij{} la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ (sur papier millimétré).
\end{enumerate}	
	
\medskip

\textbf{Partie C : étude d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[H(x) = (- 1 - x)\text{e}^{-x}.\]

Calculer $H'(x)$.
\item Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Soit (E) la partie du plan limitée par $\mathcal{C}$, $\Delta$ et les	droites d'équations $x =  0$ et $x = \alpha$. Calculer, en cm$^2$, l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ de (E).
\item  	Calculer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}
\end{document} 