\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{color}
%%%%%%Tapuscrit Denis Vergès 
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Novembre
 2007~\decofourright\\Génie Mécanique - Génie Énergétique - Génie Civil\\Nouvelle-Calédonie}}
\end{center}

\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que  le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $3$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

On considère le point A d'affixe $a = 2$ et le point B d'affixe $b = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :

\[ P(z) = z^2 -\left(2 + \sqrt{2}\right)z + \left(2 + \sqrt{2}\right).\]
 
Déterminer les solutions de l'équation : $P(z) = 0$.

Dans la suite de l'exercice, on note C le point du plan d'affixe $c = \dfrac{2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}}{2}$.
\item  Étude du triangle AOB.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item  Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $b$.
		\item  En déduire la nature du triangle AOB, ainsi que la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.
	 \end{enumerate}
\item  Étude du triangle AOC.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que C est le milieu du segment [AB].
		\item  En déduire la nature du triangle AOC, ainsi qu'une mesure de l'angle $\widehat{\text{AOC}}$
		\item  En déduire un argument du nombre complexe $c$.
	 \end{enumerate}
\item  Calcul de la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que : $|c| =  \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
		\item  Déduire des questions précédentes que $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)	= \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

Une entreprise produit en série des objets qu'elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de défauts :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  le défaut S de nature esthétique ;
\item[$\bullet~$]  le défaut F de fonctionnement.
\end{itemize}

 Un objet est déclaré parfait s'il ne présente aucun des deux défauts.
\begin{enumerate}
\item  On prélève un lot de $200$~objets sur la production et on constate que : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le défaut S est observé sur 16 objets ;
\item[$\bullet~$] le défaut F est observé sur 12 objets;
\item[$\bullet~$] 180 objets sont déclarés parfaits.
\end{itemize}

Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Avec le défaut F&	Sans le défaut F&	Total\\ \hline
Avec le défaut S		&				&					&16\\ \hline
Sans le défaut S		&				&					&     \\ \hline
Total					&				&					&200\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On admet que la répartition des deux types de défauts, observée dans le lot de $200$~objets prélevés, reflète celle de l'ensemble de la production. On admet également que tout objet produit est vendu. On sait en outre que le coût de fabrication d'un objet est de $200$~\euro.
\item Dans cette question, le prix de vente de l'objet est fixé à $250$~\euro.

Si l'objet présente le seul défaut S, l'entreprise accorde au client une réduction de 15\,\% du prix.

Si l'objet présente le seul défaut F, l'entreprise réalise les réparations, à ses frais, pour un coût de $45$~\euro.

Si l'objet présente les deux défauts, l'entreprise réalise les réparations, à ses frais, pour un coût de $58$~\euro.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le bénéfice algébrique, en euro, réalisé par l'entreprise à la vente de cet objet.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le fait que X prend les valeurs (exprimées en euro) : 50 ; 12,50 ; 5 et $- 8$.
		\item 	Démontrer que la probabilité pour qu'un objet présente le seul défaut S est $0,04$.
		\item 	Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X (On pourra représenter les résultats dans un tableau.)
		\item 	Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X) pour l'entreprise ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

Le plan est rapporté au repère orthogonal \Oij.

(Unités graphiques : $3$~cm en abscisse et $1$~cm en ordonnée).

\bigskip

\textbf{I. Résolution d'une équation différentielle}

On note (E) l'équation différentielle :
 
\[y'+y = 3\text{e}^{-x} + x +  1\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'+ y = 0$.
\item  Vérifier que la fonction $u$ définie sur $\R$ par : $u(x) =  3x\text{e}^{-x} + x$, est une solution de l'équation différentielle.
\item On admet que toute solution $f$ de l'équation (E) est de la forme $f(x) = u(x) + C\text{e}^{-x}$ où $C$ est une constante réelle et $u$ la fonction définie à la question 2. 

Déterminer la solution $f$ de l'équation (E) telle que : $f(0) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath}

\medskip

 On note $g$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[g(x) =  \text{e}^{-x}(- 3x + 1) + 1.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
\item  Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$, et dresser le tableau de variations (On ne demande pas les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $-\infty$.)
\item  Calculer $g\left(\dfrac{4}{3}\right)$ et en déduire le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{III. Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath déterminée en I.}

\medskip

On rappelle que $f$ est définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[ f(x) =  \text{e}^{-x}(3x + 2)+ x.\]

 On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude des limites.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en  $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item   Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$, et démontrer que, pour tout réel $x :  f'(x) = g(x)$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$  est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$, et préciser la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$. (On notera A leur point d'intersection.)
\item  Déterminer l'abscisse du point B de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente $\mathcal{T}$ est parallèle à la droite $\mathcal{D}$.
\item  Tracer, dans le repère \Oij, les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$. Placer les points A et B puis tracer la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{IV. Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $F$, définie sur $\R$ par :

\[F(x) = -f(x)  - 3\text{e}^{-x} + \dfrac{x^2}{2}+x,\]

est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.

\medskip

\item  En déduire l'aire en cm$^2$ du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$, et l'axe des abscisses. (On donnera un résultat arrondi au mm$^2$.)
\end{enumerate}
\end{document}