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%Tapuscrit Jean-Yves Le Goff Lycée Garnier Nouvelle-Calédonie & Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\chead{\small L'intégrale 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  2006~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale de mars à novembre 2006}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}

 \end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Metroappli}{Métropole  Arts appliqués juin 2006} \dotfill  \pageref{Metroappli}\\
\hyperlink{Metroapplisep}{Métropole  Arts appliqués septembre 2006} \dotfill  \pageref{Metroapplisep}\\ \hline
\hyperlink{Metrocivil}{Métropole Génie civil juin 2006} \dotfill  \pageref{Metrocivil}\\
\hyperlink{Polynesiecivil}{Polynésie Génie civil juin 2006} \dotfill  \pageref{Polynesiecivil}\\
\hyperlink{Metrocivilsep}{Métropole Génie civil septembre 2006} \dotfill  \pageref{Metrocivilsep}\\
\hyperlink{Caledocivil}{Nouvelle-Calédonie Génie civil novembre 2006} \dotfill  \pageref{Caledocivil}\\  \hline
\hyperlink{Antilleselectro}{Antilles-Guyane Génie électronique juin 2006} \dotfill  \pageref{Antilleselectro}\\
\hyperlink{LaReunionelectro}{La Réunion Génie électronique juin 2006} \dotfill  \pageref{LaReunionelectro}\\
\hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique juin 2006} \dotfill  \pageref{Metroelectro}\\
\hyperlink{Polynesieelectro}{Polynésie Génie électronique juin 2006} \dotfill  \pageref{Polynesieelectro}\\
\hyperlink{Metroelectrosep}{Métropole Génie électronique septembre 2006} \dotfill  \pageref{Metroelectrosep}\\
\hyperlink{Caledoelectro}{Nouvelle-Calédonie Génie électronique nov. 2006} \dotfill  \pageref{Caledoelectro}\\  \hline
\hyperlink{Antillesmateriaux}{Antilles-Guyane Génie des matériaux juin 2006} \dotfill  \pageref{Antillesmateriaux}\\
\hyperlink{LaReunionmateriaux}{La Réunion Génie des matériaux juin 2006} \dotfill  \pageref{LaReunionmateriaux}\\
\hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux juin 2006} \dotfill \pageref{Metromateriaux}\\
\hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux septembre 2006} \dotfill \pageref{Metromateriauxsep}\\
\end{tabularx}

\newpage
 ~ 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%  Métropole Arts appliqués juin 2006
\hypertarget{Metroappli}{}

\label{Metroappli}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[5pt]
juin 2006}

\vspace{1cm}

Coefficient : 2 \hfill Durée : 2 heures

\bigskip

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet. 

\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} on a dessiné une ellipse $\mathcal{E}$ de sommets :

\[\text{A}(4 ~;~0)\qquad \text{A}'(-4~;~0) \qquad \text{B}(0~;~3) \quad \text{et} \quad  \text{B}'(0~;~-3)\]

\begin{center}
\psset{unit=1.333cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-3.5)(4.5,3.5)
\psframe(-4.5,-3.5)(4.5,3.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4.,-3.)(4.,3.)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-3.5)(4.5,3.5)
\uput[dr](0,0){O} \uput[ur](0,3){B} \uput[dr](0,-3){B$'$} 
\uput[ur](4,0){A} \uput[ul](-4,0){A$'$}
\psellipse[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,0)(4,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation de cette ellipse dans \Oij{} est  : $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1.$
\item Construire géométriquement les deux foyers F et F$'$ puis calculer leurs coordonnées exactes.
\item Pour tout point $M$ de l'ellipse $\mathcal{E}$, par quelle relation $M$F et $M$F$'$ sont-ils liés ?
\item Déterminer les valeurs exactes des abscisses des points de $\mathcal{E}$ d'ordonnée 2.
\item Les sommets d'un rectangle de centre O sont des points de l'ellipse $\mathcal{E}$ et ses côtés sont parallèles aux axes. Quelle doit être la longueur du côté horizontal de ce rectangle pour que sa hauteur soit égale à $2\sqrt{7}$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

Pour la construction d'un stand d'exposition, des étudiants en BTS EVEC ont besoin de créer une rampe d'accès reliant le plancher du stand au sol du hall d'exposition. Une rampe plane ne pouvant permettre l'accès aux fauteuils roulants, les élèves de BTS proposent comme solution de remplacer sur la coupe ci-dessous, le segment [OA] par la courbe $\mathcal{C}$ qui fait l'objet du problème suivant.

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,4)
\psline(0,0)(8,0)(8,2)(12,2)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.75pt](0,0)(8,2)
\uput[d](4,0){4 m} \uput[u](4,0){Sol du hall}
\uput[r](8,1){1 m} \uput[u](10,2){Plancher du stand} 
\uput[u](8,2){A} \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

On choisit le repère orthonormé \Oij{} dans lequel le point A a pour coordonnées (4~;~1) et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$  définie sur l'intervalle [0~;~4] par : 

\[f(x) = \dfrac{1}{32}\left(- x^3 + 6x^2\right).\]

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que O et A sont bien sur la courbe $\mathcal{C}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{-3}{32}x(x - 4)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [0~;~4]. Donner ensuite le tableau de variations de $f$ sur [0~;~4].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(0)$ et $f'(4)$. Donner une interprétation graphique de ces résultats. 
		\item Quel est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point I d'abscisse 2 ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant : (on arrondira les valeurs au centième).

\medskip

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5& 1	&1,5	&2	&2,5&3	&3,5	&	4\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&0,96	&  \\ \hline
\end{tabularx}\]

\medskip
	 
\item On prendra comme unité graphique $5$~cm. Représenter sur une feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que les tangentes aux trois points d'abscisses 0, 2 et 4.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
		\item On note $\mathcal{S}$ la partie située entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation  $x = 4$.
		
Calculer l'aire de $\mathcal{S}$ (en unités d'aires). 
		\item On précise qu'une unité d'aire sur le graphique correspond à 1~m$^2$ en réalité. Sachant que le stand a une largeur de 4~m, quel volume de béton devra-t-on utiliser pour construire la rampe d'accès ? La formule donnant ce volume est $V = B \times h$ où $V$ est le volume, $B$ l'aire de la partie correspondant à la partie $\mathcal{S}$ du graphique et $h$ la largeur du stand.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Arts appliques juin 2006 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%  Métropole Arts appliques septembre 2006
\hypertarget{Metroapplisep}{}

\label{Metroapplisep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2006}

\vspace{0,5cm}

Coefficient : 2 \hfill    Durée : 2 heures

\bigskip

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet. 

\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité $1$~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation 

\[9x^2 + 25y^2 = 225.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier que les points $M$ dont les coordonnées vérifient cette équation, sont solutions de l'équation : $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Quelle est la nature de la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item Calculer les coordonnées des sommets A, A$'$, B et B$'$.
\item Calculer les coordonnées des foyers F et F$'$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur un  graphique les points A, A$'$, B, B$'$, F et F$'$.
		\item Montrer que $\mathcal{C}$ est la réunion de deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ d'équations respectives 
\[y = 3\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{25}}\quad \text{et}\qquad (1)  \quad y = - 3\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{25}}.\]
		\item En utilisant l'équation (1) de la courbe $\mathcal{C}_{1}$, compléter le tableau de valeurs, arrondies au dixième, ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
$y$	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{1}$ sur l'intervalle [0 ; 5] ; puis en utilisant les éléments de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$, tracer $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Soit D le point de coordonnées $(-3~;~- 2,4)$. Déterminer FD, F$'$D et FD + F$'$D.

Que peut-on en conclure ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = \dfrac{2x^2 + 4x - 1}{(x + 1)^2}.\]
On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité : $2$~cm).

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = 2 - \dfrac{3}{(x + 1)^2}$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -1 \atop x > -1} f(x)$. En déduire l'existence d'une asymptote dont on déterminera une équation.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x)$. En déduire l'existence d'une asymptote dont on déterminera une équation.
\item Vérifier que la dérivée de $f$ est définie par $f'(x) = \dfrac{6}{(x+1)^3}$.

Trouver le signe de $f'(x)$ sur $]- 1~;~+ \infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.
\item Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des ordonnées puis du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau de valeurs, arrondies au dixième, suivant :
		
\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&$-0,5$	&$0$	&$1$	&$2$	&$3$	&$5$\\ \hline
$f(x)$ 	&		&		&		&		&		&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Construire sur un même graphique les asymptotes,  T,  puis $\mathcal{C}_{f}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par $F(x) = 2x + \dfrac{3}{x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]- 1~;~+ \infty[$.
		\item On considère la partie $\mathcal{A}$ du plan comprise entre les droites d'équation $x = 1,~x = 5$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et l'axe des abscisses.
		
Déterminer l'aire de $\mathcal{A}$ en unités d'aire et ensuite en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Métropole Arts appliques septembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie Génie civil mars 2006
%\hypertarget{Caledocivil}{}
%
%\label{Caledocivil}
%\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil}
%\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
%\rfoot{\small{mars 2006}}
%
%\pagestyle{fancy}
%\thispagestyle{empty}
%
%\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}
%
%\vspace{0,5cm}
%
%{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI mars 2006~\decofourright\\Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil\\[5pt]Nouvelle-Calédonie}}
%
%\end{center}
%
%\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que  le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise à la  disposition des candidats.}
%
%\vspace{0.5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}
%
%\medskip
%
%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : $3$~cm.
%\begin{enumerate}
%\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation
%\[\left(\text{i}z + 1 + \text{i}\sqrt{3}\right)\left(z^{2} - 2z + 4\right) = 0,\]
%et donner les solutions sous la forme algébrique.		
%\item  On considère les nombres complexes
%		\[a =  1 + \text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et}\quad  b = - \sqrt{3} + \text{i}\]
%		
%et on appelle A et B les points d'affixes respectives $a$ et $b$.
%\begin{enumerate}
%\item  Déterminer la forme trigonométrique de $a$ et $b$.	
%\item  Construire les points A et B dans le repère \Ouv.
%\item  Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle.
%\item  Soit K le milieu du segment [AB]. Placer K et déterminer son affixe $k$.
%\end{enumerate}
%\item On considère le complexe
%
%\[c = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right),\]
%
%et on appelle C le point du plan d'affixe $c$.
%\begin{enumerate}
%\item  Montrer que K est le milieu du segment [OC] puis placer C.
%\item  Démontrer que le quadrilatère OACB est un carré. 
%\end{enumerate}
%\end{enumerate} 
%
%\vspace{0.5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}
%
%\medskip
% 
%Un client d'un supermarché reçoit lors de son passage en caisse un ticket d'un jeu du grattage. Ce ticket comporte trois cases à gratter. Pour la première case deux résultats sont possibles 1 ou 2, pour la deuxième et la troisième case trois résultats sont possibles 1, 2 ou 3. Le client gratte les trois cases de son ticket.
%\begin{enumerate}
%\item Préciser le nombre de résultats possibles.
%\item On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  A : \og~Avoir 3 chiffres identiques~\fg
%\item[$\bullet~$]  B : \og~Avoir au moins une fois un 2~\fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item  Déterminer la probabilité de A notée $p$(A) et celle de B notée $p$(B).
%		\item  Déterminer $p(\text{A} \cap \text{B})$, puis démontrer que $p(\text{A} \cup \text{B}) =  \dfrac{5}{6}$.
%	\end{enumerate}
%\item  Le client reçoit 5 \euro{} lorsqu'il obtient trois chiffres identiques, 2~\euro{} lorsqu'il obtient exactement $2$ chiffres identiques et $0$~\euro{} dans les autres cas. On appelle X la variable aléatoire qui prend comme valeurs les gains précédents.
%	\begin{enumerate}
%		\item  Déterminer la loi de probabilité de X. 
%		\item  Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
% 
%\vspace{0.5cm}
%
%\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}
%
%\medskip
%  
%On appelle $f$ la fonction définie pour tout nombre réel  $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
%
%\[f(x) = x - 1  + \dfrac{2 \ln x - 1 }{x}\]
%
%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique $2$~cm.
%
%\medskip
%
%\textbf{Partie A - étude d'une fonction auxiliaire}
%
%\medskip
%
%On appelle $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
%
%\[g(x)	 = x^{2} -  2 \ln x + 3.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item  Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 	
%\item  Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ pour tout réel $x$ appartenant  à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
% \end{enumerate}
% 
%\bigskip
%
%\textbf{Partie B - étude de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
%\item Étude d'une asymptote
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite $\mathcal{D}$	d'équation $y = x - 1.$	
%\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
%\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{D}$.
%\end{enumerate}
%\item Étude des variations de $f$
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,$
%
%\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.\]
% 	
%		\item En déduire le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
%		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
%	\end{enumerate}
%\item Construire $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. 
%\end{enumerate}
%
%\medskip
% 
%\textbf{Partie C - Calcul d'aire}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item  Soit $h$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle \medskip par :
%
%\[h(x) = \dfrac{2}{x} \ln x.\]
%
%Démontrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :
%\[H(x) = (\ln x)^2,\]
%est une primitive de $h$ sur cet intervalle.	
%\item  En déduire une primitive $\Phi$ de la fonction $\varphi$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :
%
%\[\varphi(x) = \dfrac{2\ln x - 1}{x}.\]
%
%\item  Soit la partie $\mathcal{A}$ du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations
%\[x = \sqrt{\text{e}}\quad  \text{et} \quad  x = \text{e}.\]
%	\begin{enumerate}
%		\item Hachurer la partie $\mathcal{A}$. 
%		\item Déterminer la valeur exacte en cm$^2$, de l'aire de la partie $\mathcal{A}$.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie Génie civil mars 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie civil juin 2006
\hypertarget{Metrocivil}{}

\label{Metrocivil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil  Métropole\decofourright\\[5pt] juin 2006}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes suivants :

\[z_{\text{A}} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}, \qquad z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i}.\]

On pose $z= \dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$.

\begin{enumerate}
\item  Écrire $z$ sous forme algébrique.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et de $z_{\text{B}}$.
		\item En déduire le module et un argument de $z$.
		\item Écrire $z$ sous forme trigonométrique.
	\end{enumerate}
\item Déduire des résultats obtenus aux questions précédentes les valeurs exactes de $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{7\pi}{12}$
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item  Sur papier millimétré, construire les points A et B, images respectives de $z_{\text{A}}$ et de $z_{\text{B}}$.
		\item Déterminer la nature du triangle OAB.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$, dans un repère orthonormal d'unité 2 cm, de la fonction $f$ définie sur $[0~;~2\pi]$  par :

\[f(x) = 2 - \sin \dfrac{x}{2}\]

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(7,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-1,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](1,0){1} \uput[dl](0,1){1}
\uput[u](3.141,1){S}\uput[dl](0,0){O}
\psline(6.282,0)(6.282,2) \psline(3.141,0)(3.141,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{6.282}{2 x 90  mul 3.141 div  sin sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item  Vérifier, par le calcul, que :
	\begin{enumerate}
		\item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point S$(\pi~;~1)$.
		\item la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point S est parallèle à l'axe des abscisses.
		\item la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : $4y'' + y - 2 =  0$.
	\end{enumerate}
\item On veut calculer la valeur exacte du volume du solide de révolution engendré par la courbe $\mathcal{C}$ lors de sa rotation autour de l'axe des abscisses. On rappelle que la valeur V de ce volume, en unités de volume, est donnée par la formule :

\[\text{V} = \pi \displaystyle\int_{0}^{2\pi} [f(x)]^2\:\text{d}x.\]
	\begin{enumerate}
		\item  On pose, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0~;~ 2\pi],~g(x) = [f(x)]^2$.
Démontrer que l'on a : $g(x) = \dfrac{9}{2} -  4 \sin \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2} \cos x$.
		\item Donner la valeur exacte de ce volume en cm$^3$, puis sa valeur arrondie au mm$^3$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{2x}{1 + x} -  \ln (1 + x).\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Ouv{} d'unités graphiques 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En remarquant que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$

\[f(x) = \dfrac{1}{1 + x}[2x - (1 + x)\ln (1 + x)],\]

calculer la limite de $f$ en $-1$ (on pourra utiliser sans démonstration

$\displaystyle\lim_{X \to 0} X \ln X = 0$).
		\item En déduire une équation d'une droite $\mathcal{D}$ asymptote à $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant
à l'intervalle $]- 1~;~+\infty[,\:f'(x) = \dfrac{1 - x}{(1 + x)^2}$.
(1 + x)

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$.
		\item Calculer la valeur exacte de $f(1)$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que l'équation $f(x) =  0$ a une seule solution $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~5].

Démontrer que $\ln (1+\alpha) = \dfrac{2\alpha}{1 + \alpha}$.

		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\alpha]$.
\item Tracer, dans le repère \Ouv{}, la tangente $\mathcal{T}$, la droite $\mathcal{D}$ puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$, la fonction $F$ définie par \[F(x) = (-3 - x)\ln(1 + x) + 3x\] est une primitive de la fonction $f$.
\item Soit $\mathcal{H}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \alpha$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\mathcal{H}$ sur le dessin.
		\item Calculer, en unités d'aire et en fonction de $\alpha$, l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ de la partie $\mathcal{H}$ et démontrer que  
$\mathcal{A}(\alpha) = 2\left(\dfrac{\alpha^2 - 3\alpha}{1 + \alpha}\right)$ cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie civil juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie civil juin 2006
\hypertarget{Polynesiecivil}{}

\label{Polynesiecivil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2006~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item  On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

\[P(z) = z^3 - 4z^2 + 8z - 8.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,~ P(z) = (z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 
		
$P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item On note A, B, C, les points d'affixes respectives : $a = 2~;~b = 1 + \text{i}\sqrt{3}~;~c = 1 -  \text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $a,~b,~c$.
		\item En déduire le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. 
		\item Placer les points A, B et C en laissant visibles les traits de construction. 
		\item Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange.
	\end{enumerate}
\item On pose $d = a + b$ et on note D le point d'affixe $d$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D dans le repère \Ouv. 
		\item Démontrer que A est le milieu du segment [CD]. 
		\item Écrire $d$ sous forme exponentielle. 
		\item Démontrer que OCD est un triangle rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie A : Calcul d'une primitive}

\medskip

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par 

\[g(x) = \dfrac{x}{x + 1}\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2],\: $ g(x) = a + \dfrac{b}{x + 1}$.
\item En déduire une primitive de $g$ sur l'intervalle [0~;~2].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Détermination du centre de gravité d'une plaque homogène}

\medskip

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~ ;~2] par :

\[ f(x) = \dfrac{1}{x + 1}\]

On considère une plaque homogène formée par l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan dont les coordonnées vérifient les relations : $0 \leqslant  x \leqslant 2$ et $0 \leqslant y \leqslant f(x)$. (Voir schéma ci-dessous).
 
\parbox{0.58\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item  Soit $\mathcal{S}$ l'aire de la plaque exprimée en unité
d'aire. Démontrer que $\mathcal{S}= \ln 3$.
\item Soit G le centre de gravité de la plaque. On admettra que les coordonnées $(X~;~Y)$ de G sont données par les formules suivantes :\\
$X = \dfrac{1}{\mathcal{S}}\displaystyle\int_{0}^2 xf(x)\:\text{d}x$ et \\$Y = \dfrac{1}{2\mathcal{S}}\displaystyle\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $X$, puis une
valeur approchée arrondie au centième.
		\item Calculer la valeur exacte de $Y$, puis une
valeur approchée arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.37\textwidth}{\psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(2.2,1.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(2.2,1.3)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{1 x 1 add div}
\end{pspicture}}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points} 

\bigskip

\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle (1) : $y^{\prime} + y = 2\text{e}^{-x}$, dans laquelle $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $x$, dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (2) : $y^{\prime} + y = 0$. 
\item Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) =  2x\text{e}^{-x}$. Vérifier que $h$ est solution de l'équation (1).
\item On admet que toute solution de (1) s'écrit sous la forme $g+h$, où $g$ désigne une solution de l'équation (2).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1).
		\item Déterminer la solution $f$ de l'équation (1) vérifiant la condition initiale $f(0) = - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}  
 
\bigskip

\textbf{Partie B. Étude d'une fonction exponentielle}

\medskip

On note $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : 

\[f(x) = (2x - 1)\text{e}^{-x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. Unités graphiques : 1~cm en abscisses et 2~cm en ordonnées.

\begin{enumerate}
\item  Étude des limites.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item En écrivant, pour tout réel $x,~ f(x) = 2x\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x}$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		
Quelle conséquence graphique peut-on en tirer pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate} 
\item étude des variations de $f$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$, puis démonter que, pour tout réel $x,~ f(x)$ est du signe de $(-2x + 3)$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$
	\end{enumerate} 
\item Représentations graphiques.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
		\item Déterminer une équation de chacune des tangentes ($T$) et ($T'$) à la courbe 
$\mathcal{C}$ aux points  d'abscisses $\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$.
		\item Tracer ($T$), ($T'$) et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C. Détermination d'une primitive}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que, pour tout réel $x,~ f(x) = - f^{\prime}(x) + 2\text{e}^{-x}$.
\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie civil juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie civil septembre 2006
\hypertarget{Metrocivilsep}{}

\label{Metrocivilsep}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique,\\ énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI   Métropole septembre 2006~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, civil }}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation
 
\[\left(z^2+ 9\right)\left(z^2 - 9z + 27\right) = 0.\]

\item 	Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique 1~ cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives:
\[z_{\text{A}} = 3\text{i}\quad  ;\quad  z_{\text{B}} = \dfrac{9}{2} +\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad  \text{et} ~ z_{\text{C}} = \dfrac{9}{2} -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Écrire chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre, réel positif et $\theta$ un nombre réel.
		\item  Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = 2$. Calculer les distances AI, BI et CI.
		
En déduire que les points A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
		\item  À l'aide d'une règle et d'un compas, construire les points I, A, B et C. On utilisera une feuille de papier millimétré et on laissera apparents les traits de construction pour les points B et C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'' + 16y = 0,~ y$ désignant une fonction numérique d'une variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item  Déterminer la solution $f$ de cette équation différentielle vérifiant : 

\[f(0) = \dfrac{1}{10}\quad \text{et}\:\:f'(0) = - \dfrac{2\sqrt{3}}{5}.\]

\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) = \dfrac{1}{5}\cos \left(4x + \dfrac{\pi}{3}\right).$

\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre, dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'équation $f(x) = \dfrac{1}{5}$.
		\item  Déterminer les solutions de l'équation $f(x) = \dfrac{1}{5}$ qui appartiennent à l'intervalle $[0~;~2\pi[$.
		
Représenter ces solutions sur un cercle trigonométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}\\
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$ par 

\[g(x) =  2x^2 - 4 \ln x +4.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et prouver que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif:

\[g'(x) = \dfrac{4x^2 - 4}{x}.\]

\item 	Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ puis dresser son tableau de variations (on ne demande pas le calcul des limites).
\item 	Déterminer le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}
 
\medskip
Dans toute la suite du problème, on étudie la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) =  2x - 3 + 4 \dfrac{\ln x}{x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~ cm.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$.
		\item Interpréter graphiquement le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item  Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		\item  Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item 	Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et prouver que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif:

\[f'(x) = \dfrac{ g(x)}{x^2}.\]

\item 	À l'aide des résultats de la partie A, indiquer le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~2].
		\item  Donner un encadrement d'amplitude $10^{-4}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item 	Pour quelle valeur de $x$ la courbe $\mathcal{C}$ admet-elle, au point d'abscisse $x$, une tangente parallèle à $\mathcal{D}$ ?
 \item 	Construire avec soin la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ (on utilisera une feuille de papier millimétré).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
 
\medskip
 
Dans cette partie, on souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, du domaine $\mathcal{E}$ situé entre les droites d'équations $x = 1$ et $x = 5$, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$.

\begin{enumerate}
\item  Hachurer le domaine $\mathcal{E}$ sur le graphique réalisé à la partie B.
\item  Montrer que $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^5 4\dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  On pose, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $H(x) = (\ln x)^2$.
		
Déterminer la dérivée de la fonction $H$.
		\item  Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur approchée au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie civil septembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie  Génie civil novembre 2006
\hypertarget{Caledocivil}{}

\label{Caledocivil}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI décembre
 2006 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie Mécanique - Génie énergétique - Génie Civil}}

\end{center}

\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que  le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise \`a la disposition des candidats.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}
 
\medskip

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, 	unité graphique : $2$~cm.

\begin{enumerate}
\item  Résolution d'une équation. 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre , dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation
\[(z - 4 \text{i})\left(z^2 - 4z  + 8\right) = 0 .\]
		\item   Déterminer l'écriture de chacune des solutions sous la forme exponentielle $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ où  $\rho$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel.
	\end{enumerate}
\item   Soient A, B et C les points d'affixes respectives  $a = 2 - 2 \text{i},\: b = 2 + 2 \text{i}$ et $c = 4 \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item Placer le milieu M du segment [BC] et calculer son affixe $m$ sous la forme algébrique.
	\end{enumerate}
\item On désigne par B$'$,  C$'$ et M$'$ les points  d'affixes respectives $b' = \dfrac{16}{b},\: c' = \dfrac{16}{c}$ et $m' = \dfrac{16}{m}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer  la forme algébrique de chacun des nombres complexes 
$b'$ et  $c'$.

On admettra que $m' = \dfrac{8}{5} - \dfrac{24}{5} \text{i}$.
		\item Placer les points B$'$,  C$'$  et M$'$ sur la figure.
\end{enumerate}
\item  Quelques configurations géométriques. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les modules des nombres complexes  $b' -a,~ c' - a$  et $m' - a$. 
		\item En déduire que les points B$'$, C$'$  et M$'$  appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ de centre A
		\item Tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur la figure et démontrer  que le point O appartient au cercle $\mathcal{C}$.
		\item Démontrer que le triangle isocèle AB$'$C$'$ est rectangle en A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0.5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}
 
Le dispositif de la figure A  ci-dessous est constitué d'une cuve reliée à un récipient par un tuyau muni d'une vanne.

Cette vanne étant fermée, on remplit d'eau la cuve (figure A).  On ouvre ensuite la vanne et l'eau passe  dans le récipient d'où elle s'écoule en pluie fine par le fond percé d'une multitude du petits orifices comme l'indique la figure B ci-dessous.

\\begin{center}
\begin{tabular}{l r}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6,4)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.4)(2,2.5) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,0.4)(1,0.4)\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,2.5)(1,0.4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.4)(4,0.7)
\psellipse(5,0.4)(1,0.4) \psline(4,0.4)(4,1.3) \psline(6,0.4)(6,1.3)  \psellipse(5,1.3)(1,0.4)\rput(5,1.9){Récipient} \rput(3,1){Vanne fermée}\rput(1,3.2){Cuve}\rput(3,-1.5){Figure A}	 \end{pspicture}
&
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6,4)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.4)(2,2.5) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,0.4)(1,0.4)\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,2.5)(1,0.4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.4)(4,0.7)
 \psline(4,0.4)(4,1.3)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4,0.4)(6,0.8) \psline(6,0.4)(6,1.3) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5,0.4)(1,0.4)\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5,0.8)(1,0.4) \psellipse(5,1.3)(1,0.4) \rput(5,1.9){Récipient}\rput(3,1){Vanne ouverte}\rput(1,3.2){Cuve} \psline(6,0.4)(6.3,0.4) \psline(6,0.8)(6.3,0.8)
 \psline{<->}(6.3,0.4)(6.3,0.8)\rput(6.7,0.6){$h(t)$}\multido{\n=4.0+0.1}{20}{\psline(\n,-0.1)(\n,-0.2)}
\multido{\n=4.0+0.1}{20}{\psline(\n,-0.3)(\n,-0.4)}\multido{\n=4.0+0.1}{20}{\psline(\n,-0.5)(\n,-0.6)}
\multido{\n=4.0+0.1}{20}{\psline(\n,-0.7)(\n,-0.8)}\multido{\n=4.0+0.1}{20}{\psline(\n,-0.9)(\n,-1)} 
\psline(4,0)(4,0.1)\psline(4.1,0)(4.1,0.1) \psline(4.2,0)(4.2,0.1) \psline(4.3,0)(4.3,0.1)\psline(5.6,0)(5.6,0.1)\psline(5.7,0)(5.7,0.1)\psline(5.8,0)(5.8,0.1)
\psline(5.9,0)(5.9,0.1) \psline(4,0.2)(4,0.3)\psline(5.9,0.2)(5.9,0.3)\rput(3,-1.5){Figure B}	     \end{pspicture}\\
\end{tabular}
\end{center}
\medskip

On considère alors la fonction  $h$ qui  à tout instant $t$ exprimé en minutes, fait correspondre la hauteur d'eau $h(t)$, exprimée en mètres,  dans le récipient. On choisit l'instant où l'on ouvre la vanne  comme origine des temps et, à cet instant $t = 0$, la hauteur d'eau  dans le récipient est nulle.

On admet  que la fonction $h$ est  définie et  dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et qu'elle  vérifie, pour
tout nombre réel $t$ de cet intervalle,  la relation 

\[h'(t) + 2h(t) =  \dfrac{1}{2}\text{e}^{-t}\]

où $h'$  désigne la dérivée de la fonction $h$.

\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \\$g(t) = h(t) - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-t}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $g$ est une solution de l'équation différentielle 
		
(E) $y' + 2y = 0$.
		\item  Résoudre l'équation  différentielle  (E). 
		\item  Utiliser les résultats  précédents et  la condition  initiale $h(0) = 0$ pour démontrer que, pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[~ :~   h(t) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-t} - \text{e}^{-2t}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Étude des variations de $h$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $h$ en $+ \infty$ 
		\item  Calculer $h'(t)$ et démontrer que  pour tout réel $t$  appartenant à $[0~;~+ \infty[,~ h'(t)$ a même signe que $2\text{e}^{-t} - 1$. 
		\item  Étudier le signe de  $2\text{e}^{-t} - 1$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $h$. Calculer $h(\ln 2)$.
	\end{enumerate}
\item  En déduire la hauteur minimale en millimètres que doit avoir le récipient pour que  l'eau s'en écoule entièrement par le fond, c'est-à-dire sans  déborder du récipient, lorsque la vanne reste ouverte. 
 \end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}
 
\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[ f(x) = 4 - \ln 2 - \dfrac{1}{4}x^2  + \dfrac{1}{2}\ln x\]

 où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de  $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan d'unité graphique $2$~cm.
 
\bigskip

\textbf{Partie A  : étude de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item  Étude des limites.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ et en déduire que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ on a :

\[f(x) = 4 - \ln  2 - x\left(\dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2}\dfrac{\ln x}{x}\right) \quad \text{ et en déduire}~ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x).\]
	\end{enumerate}
\item Étude du signe de $f$ sur un intervalle
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{2x}$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
		\item  Calculer $f(4)$ et en déduire que la fonction $f$ est positive ou nulle sur l'intervalle [1~;~4].
	\end{enumerate}
\item  On désigne par A et B les points de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisses respectives $1$ et $4$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en B. 
		\item   Tracer les tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ aux points A et B puis $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip

On admet que, compte tenu de l'unité graphique utilisée, la longueur $L$, exprimée en cm, de l'arc
$\widearc{\text{AB}}$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est donnée par l'intégrale suivante :

\[L = \displaystyle\int_{1}^4 2\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \,\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel  $x > 0$ on a :  $1 + [f'(x)]^2 =\left(\dfrac{1}{2x} + \dfrac{x}{2}\right)^2$.
\item  Calculer la valeur exacte de la longueur en cm de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, puis en donner un valeur approchée arrondie au mm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}
 
\medskip
 
On considère la région $\mathcal{A}$ du plan délimitée par la droite d'équation $x = 1$, l'axe des abscisses et l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $G(x) = x\ln x - x$.

Démontrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $x \mapsto \ln x$  sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item  Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{A}$ (On utilisera le résultat de 2 c de la partie A), puis en donner une valeur approchée arrondie au mm$^2$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie  Génie civil novembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane génie électronique juin 2006
\hypertarget{Antilleselectro}{}

\label{Antilleselectro}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, \\électrotechnique, génie optique }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI  Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt]Génie électronique  juin 2006}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique $3$~cm, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ ; i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{A}}$  et $z_{\text{B}}$ sous forme trigonométrique, puis sous forme exponentielle.
		\item En utilisant la règle et le compas, placer les points A et B dans le repère \Ouv. On laissera apparents les traits de construction.
		\item Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle en O.
	\end{enumerate}
\item Dans ce qui suit, on considère la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
On appelle C l'image du point A par cette rotation.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point C dans le repère \Ouv. On laissera apparents les traits de construction.
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C sous forme exponentielle. 
		\item Quelle est l'image du point B par la rotation ? Justifier. 
		\item En déduire l'image du triangle OAB par la rotation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistance $R$ (exprimée en ohms), un condensateur de capacité $C$ (exprimée en farads) et un interrupteur. On ferme l'interrupteur à l'instant $t = 0$ et le générateur délivre alors une tension constante $E$ (exprimée en volts). On procède ainsi à la charge du condensateur.

\medskip

La charge $q$ en coulombs du condensateur est une fonction dérivable du temps $t$ (exprimé en secondes) ; l'intensité $i$ du courant (exprimée en ampères) est alors telle que $i(t) = q'(t)$.

On considère l'équation différentielle : 

\[y'+\dfrac{1}{RC}y =  \dfrac{E}{R}\]

dans laquelle $y$ est une fonction de la  variable réelle $t$, définie et dérivable sur $\R$.
 
Dans tout ce qui suit, on prend $R = \np{1000},~ C= 10^{-4}$ et $E = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire l'équation différentielle ci-dessus en remplaçant $R,~ C$ et $E$ par leurs valeurs respectives.
\item On admet que la fonction $q$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 
\[q(t) = -10^{-3}\text{e}^{-10t} +10^{-3}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $q'$ de la fonction $q$, puis vérifier que $q$ est solution sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle établie à la question 1.
		\item Déterminer $q(0)$, la limite de $q$ en $+\infty$ et le sens de variations de $q$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On admet que l'intensité du courant $i$ qui parcourt le circuit à l'instant $t$ est donnée par $i(t) = 10^{-2}\text{e}^{-10t}$.

Déterminer la valeur exacte de l'instant $t_{0}$ à partir duquel l'intensité $i(t)$ est inférieure ou égale à $10^{-3}$ ampère. Préciser sa valeur arrondie au centième de seconde.
\item On sait enfin que l'énergie $W$ dissipée dans le conducteur ohmique, exprimée en joules, entre les instants $t = 0$ et $t = 0,23$, est donnée par : 

$W= \np{1000}\displaystyle\int_{0}^{0,23} i^2(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item  Préciser une primitive de la fonction $h$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par 
		
$h(t) = \text{e}^{-20t}$.
		\item Calculer alors $W$ et en donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur v dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité 1 cm est donnée en annexe. Cette courbe passe par le point A(1~;~4).

Dans la partie I, le but est de déterminer graphiquement certaines propriétés de la fonction $f$. On prouve ensuite ces propriétés dans la partie II à partir de l'expression de $f(x)$. Enfin, dans la partie III, on s'intéresse à un calcul d'aire.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On répondra aux questions suivantes en utilisant la représentation graphique donnée en annexe. Si cela n'est pas demandé explicitement, on ne justifiera pas la réponse.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On admet que la fonction $f$ est décroissante sur ]0~;~1[ et que l'axe des ordonnées est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$. Donner $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$.
		\item Peut-on donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ à partir du graphique ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet, sur l'intervalle [1~~15], deux solutions ; on notera $\alpha$ et $\beta$ ces solutions, avec $\alpha < \beta$.
		\item Donner un encadrement d'amplitude 0,5 pour chacun des deux nombres $\alpha$ et $\beta$.
		\item Donner le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle [1~;~15].
	\end{enumerate}
\item On admet que la droite passant par les points A(1; 4) et B$(2~;~-2)$  est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la valeur de $f'(1)$.
		\item Donner, en justifiant, une équation de la droite (AB).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On admet maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 2(\ln x)^2 - 6\ln x + 4.\]

Le but de cette partie est de démontrer les résultats obtenus à la partie I, en utilisant l'expression de $f(x)$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$. Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ retrouve-t-on ainsi ?
		\item Démontrer que pour $x \neq 1$ on a $f(x) = (\ln x)\left[2 \ln x - 6 + \dfrac{4}{\ln x}\right]$ puis en déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f'(x) = \dfrac{4\ln x - 6}{x}$	ou $f'$ désigne la dérivée de $f$.
		\item Résoudre dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation $4 \ln x - 6 > 0$. 
		\item En déduire le sens de variations de $f$ et dresser le tableau de variations de $f$. On calculera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les résultats de la question 2 démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle [1 ; 15].
		\item Donner les valeurs exactes de $f\left(\sqrt{\text{e}}\right),~ f(\text{e})$ et $f\left(\text{e}^2\right)$.
		\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle [1~;~15].
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 1.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la feuille annexe \textbf{à rendre avec la copie}, hachurer le domaine D délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$.
\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
$F(x) = 2x(\ln  x)^2 - 10x \ln x + 14x$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire l'expression de l'aire, en unités d'aire, du domaine D sous la forme d'une intégrale.
		\item Donner la valeur exacte de cette aire en cm$^2$, puis sa valeur en mm$^2$, arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}


\textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}

\bigskip \bigskip 

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(15,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3)(15,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-3)(15,7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline(0.5,7)(2.0833,-2.5)
\uput[dr](1,4){A} \uput[dr](2,-2){B}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.6465}{15}{x ln 2 exp 2 mul 4 add x ln 6 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane génie électronique juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion génie électronique juin 2006
\hypertarget{LaReunionelectro}{}

\label{LaReunionelectro}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft ~Baccalauréat STI La Réunion juin 2006~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4,5 points}

\medskip

$\C$ est l'ensemble des nombres complexes et i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ l'équation :

\[z^2 - 4z+16 = 0.\]

\item On considère les nombres complexes :

\[ z_{1} = 2+2\text{i}\sqrt{3} \quad  \text{et}\quad z_{2} =  2 - 2\text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{1}$.
		\item écrire $z_{1}$, puis $z_{2}$ sous forme exponentielle.
	\end{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité $1$~cm.

On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{2\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points M$_{1}$, et M$_{2}$ d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère \Ouv.
		\item Montrer que le point M$_{2}$ est l'image du point M$_{1}$ par la rotation $r$.
		\item On appelle M$_{3}$ le point image du point M$_{2}$ par la rotation $r$.
		
Calculer l'affixe $z_{3}$ du point M$_{3}$.

Placer le point M$_{3}$ dans le repère \Ouv.
		\item Démontrer que le triangle M$_{1}$ M$_{2}$M$_{3}$ est équilatéral.
	\end{enumerate}
\item Vérifier que les nombres complexes $\left(z_{1}\right)^6$ et	$\dfrac{\left(z_{1}\right)^4}{\left(z_{2}\right)^2}$	sont des entiers naturels.

On utilisera la forme de $z_{1}$ et $z_{2}$ la plus adaptée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4,5 points}

\medskip

\textbf{I.} On considère l'équation différentielle :

\[(\text{E}_{0})\quad : \quad y'' + 4y = 0\]

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, et $y''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E$_{0}$).
\item Déterminer la solution particulière $f$ de (E$_{0}$) vérifiant :

	\[f(0) = \sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  f'(0) = 2\]
	
 où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item Montrer que pour tout réel $t,~ f(t)$ peut s'écrire sous la forme :
\[f(t) = 2\cos \left(2t - \dfrac{\pi}{6}\right).\]
\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\end{enumerate}

\textbf{II.} On considère maintenant l'équation différentielle :

\[(\text{E}_{1})\quad : \quad y'' + 4y = 3 \sin t\]
où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$, et $y''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que si une fonction $g$ est solution de l'équation (E$_{0}$), alors la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(t) = g(t) + \sin t$ est solution de l'équation (E$_{1}$).
\item Donner une solution particulière, ne s'annulant pas pour $t = 0$, de l'équation (E$_{1}$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

Sur la feuille annexe, \textbf{qui doit être remise avec la copie}, on donne, dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.

\bigskip

\textbf{Partie A : détermination de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

On suppose que la courbe passe par le point A de coordonnées $\left(3~;~-\dfrac{7}{2} +3\ln 2\right)$.

La droite D d'équation $x =  2$ est une asymptote verticale \^a la courbe $\mathcal{C}_{f}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur exacte de $f(3)$ ?
\item Donner sans justification la limite de la fonction $f$ en 2.
\item On suppose que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]2~;~+\infty[,$

\[f(x) = ax - 5 +3 \ln (x - 1) -3 \ln (x -2).\]

En utilisant la réponse de la question 1, déterminer algébriquement le nombre $a$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

On admet que la fonction  $f$ est définie sur l'intervalle $]2~;~ + \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - 5 +  3\ln (x - 1) - 3\ln (x - 2).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Retrouver par le calcul la limite de la fonction $f$ en $2$.
		\item Montrer que, pour tout x réel de l'intervalle $]2 + \infty[$
\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - 5 + 3 \ln \left(\dfrac{x - 1}{x - 2}\right).\]

		\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - 5$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $+\infty$. Tracer $\Delta$ sur la feuille annexe.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]2~;~ + \infty[$
	
\[f'(x) = \dfrac{x^2 - 3x - 4}{2(x - 1)(x - 2)}.\]
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [2,1~;~3] et une solution unique $\beta$ dans l'intervalle [9~;~ 10].
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de chacune des solutions $\alpha$ et $\beta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :  calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions $h$ et $H$ définies sur l'intervalle $]2~;~ + \infty[$ par
 
\[h(x) =  \ln \left(\dfrac{x - 1}{x - 2}\right)\quad  \text{et} \quad  H(x) = (x - 1) \ln(x - 1) - (x - 2)\ln (x - 2).\]

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.
		\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]2~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan compris entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 3$ et $x = 9$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique de la feuille annexe.
		\item On note $\mathcal{A}$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine $\mathcal{D}$. Exprimer $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale.
		\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{FEUILLE ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

Courbe de la fonction $f$

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.706cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(16,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-5)(16,6)
\psset{dotsize=10pt 0}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-1,-5)(16,6)
\psline[linewidth=1.5pt](2,-5)(2,6) \uput[r](2,-4.5){D}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{2.04}{16}{x 2 div x 1 sub x 2 sub div ln 3 mul add 5 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion génie électronique juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie électronique juin 2006
\hypertarget{Metroelectro}{}

\label{Metroelectro}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Métropole  juin 2006 ~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation $z^2 -2z +4 =  0$.
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ 	et $z_{\text{B}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Donner la forme exponentielle de $z_{\text{A}}$.
		\item Placer les points A et B dans le plan muni du repère \Ouv.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $R$ la transformation du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$
fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}z.\]

	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la nature de la transformation $R$ et préciser ses éléments caractéristiques.
		\item On nomme C l'image du point A par la transformation $R$. Déterminer la forme exponentielle de l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. En déduire sa forme algébrique. 
		\item Placer le point C. 
		\item Montrer que le point B est l'image du point C par la transformation $R$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Pour la fête de l'école, une association propose une loterie selon le principe suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Le joueur mise $10$~euros. 
\item Il fait tourner deux roues identiques chacune s'arrêtant devant un repère. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}

Chaque roue est divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués les gains en euros 10 ; 0 ;  5 ;  0. Tous les quartiers ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère. La gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues.
 
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,5.3)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}  \pscircle(8.5,2.5){2.5} 
\psline(4.914,1.853)(0.085,3.147)
\psline(3.147,4.915)(1.853,0.085)
 \psline(10.914,1.853)(6.085,3.147)
\psline(9.147,4.915)(7.853,0.085)
\rput(3,1.2){\huge 5} \rput(1.25,2){\huge 0} 
\rput(2,3.7){\huge 10} \rput(3.7,3.2){\huge 0} 
\rput(9,1.2){\huge 10} \rput(7.25,2){\huge 0} 
\rput(8,3.7){\huge 5} \rput(9.7,3.2){\huge 0} 
\rput(0,0){Roue \no 1} \rput(11,0){Roue \no 2}
\pspolygon*(1.4,5.2)(2,5.2)(1.7,4.87)
\pspolygon*(7.4,5.2)(8,5.2)(7.7,4.87)
\end{pspicture}
\end{center}

Dans l'exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de $15$~\euro.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude du gain d'un joueur pour une mise de $10$~euros.

On nomme $G$ la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros.
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable aléatoire $G$ selon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Roue \no 2}{Roue \no 1}&10 & 0 & 5 & 0\\ \hline
10	&	&	&	& \\ \hline
0	&	&	&	& \\ \hline
5	&	&	&	& \\ \hline
0	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à sa mise est 50\,\%.
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.
		\item Calculer la probabilité, notée $p(G > 10)$, qu'un joueur obtienne un gain strictement supérieur à sa mise.
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $G$, puis donner son interprétation.
	\end{enumerate}
\item Étude du bénéfice de l'association pour une mise de $m$ euros.

On suppose dans cette question que la mise du joueur est $m$ euros.

On note $B$ la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le bénéfice (positif ou négatif) réalisé par l'association, c'est-à-dire la différence entre la mise qu'elle a encaissée et le gain éventuel qu'elle a reversé au joueur.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer en fonction de $m$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $B$.
		\item Déterminer $m$ pour que l'espérance de bénéfice de l'association soit d'au moins 5~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A   Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})\quad :\quad  y' + y = -x - 1\]

où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $y' + y =  0$.
		\item Déterminer la solution $h$ de cette équation différentielle $y'+ y =  O$ prenant la valeur $\dfrac{1}{\text{e}}$ en $x = 1$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le nombre réel $a$ tel que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x) =  \text{e}^{-x} + ax$ soit solution de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par :

\[ f(x)= \text{e}^{-x} - x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et  $-\infty$. 
\item $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer, pour tout réel $x,\: f'(x)$ puis en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~1].
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
	\end{enumerate}
\item Préciser le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0 ; 1].
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul de l'aire d'une partie du plan}

\medskip

La représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère \Oij{} est tracée sur la feuille jointe en annexe, qui est à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le demi-plan constitué des points d'abscisses positives, hachurer la partie $\mathcal{D}$ limitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
\item Calculer en fonction de $\alpha$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie $\mathcal{D}$ du plan.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie D : étude d'une fonction} \boldmath $g$ \unboldmath \textbf{et représentation graphique}

\medskip

La fonction $g$ est définie sur $]-\infty~;~\alpha[$ par :

 \[ g(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{-x} - x}\]

(où $\alpha$ désigne le nombre réel trouvé à la partie B et on note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x \in ]-\infty~;~\alpha[,~g(x) = \dfrac{x\text{e}^x}{1 - x\text{e}^x}$.
		\item En déduire la limite de la fonction $g$ en $-\infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats trouvés dans la partie B question 4, déterminer la limite de la fonction $g$ en $\alpha$. Interpréter graphiquement cette limite.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $g'$ désignant la dérivée de la fonction $g$, montrer que pour tout $x$ 
de $]-\infty~;~ \alpha[,~ g'(x) = \dfrac{\text{e}^{-x}(1 + x)}{\left(\text{e}^{-x} - x\right)^2}.$
		\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur	$]-\infty~;~\alpha[$ et dresser le tableau des variations de la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ dans le repère figurant sur la feuille annexe à remettre avec la copie.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à remettre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.71cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(3,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,subgridwidth=0.25pt](0,0)(-4,-2)(3,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(3,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.68}{2}{2.71828 x neg exp x sub}
\uput[l](-1.2,4.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie électronique juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie génie électronique juin 2006
\hypertarget{Polynesieelectro}{}

\label{Polynesieelectro}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie~\decofourright\\[5pt]juin 2006}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). Soient les nombres complexes $z_{1} = \sqrt{2}+ \text{i}\sqrt{2}$  et $z_{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument des nombres $z_{1}$ et $z_{2}$.
		\item Placer les points A et B d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $Z$ le nombre complexe tel que $Z = \dfrac{z_{2}}{z_{1}}$.

Écrire $Z$ sous forme exponentielle, en déduire une mesure en radians de l'angle $\theta$ de la rotation de centre O qui transforme A en B.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $Z$ sous forme trigonométrique.
		\item En utilisant les formes algébriques de $z_{1}$ et $z_{2}$, déterminer la forme algébrique de $Z$.
		\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$  et de $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Un commercial vend entre $0$ et $4$ voitures d'un certain modèle en une semaine. Soit $X$ la variable aléatoire qui, pour une semaine, donne le nombre de voitures vendues. $X$ suit la loi de probabilité ci-dessous :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de voitures vendues&	0	&	1	&	2	&	3	& 	4\\ \hline
$p(X = k)$				&0,26	&0,23	&		&0,15	&0,05\\ \hline
\end{tabularx}\]

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de vendre exactement deux voitures en une semaine.
\item Justifier que la probabilité de vendre au moins deux voitures en une semaine est égale à $0,51$.
\item Donner une représentation graphique de la fonction de répartition $F$ de cette loi dans un repère convenablement choisi.
\item Calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire. En déduire le nombre moyen de voitures vendues en une année (c'est-à-dire 52 semaines).
\item Le prix de vente d'une voiture est de \np{13 500} \euro. Le vendeur perçoit une commission de 0,4\,\% sur le prix de vente pour chaque voiture vendue. Déterminer le montant moyen de la commission perçue en un an.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $2$~cm).

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle I. On a déterminé expérimentalement des valeurs de $f$ qui ont permis d'obtenir une partie de la courbe $(\mathcal{C})$, représentative de la fonction $f$, et sa tangente (T) au point O (voir feuille annexe).

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, déterminer $f(0)$ et $f'(0)$.
\item On admet que l'expression de $f(x)$ est de la forme $f(x) = ax + b - \ln (10x + 1)$ où 
$a$ et $b$ sont des réels.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(x)$ en fonction de $a$.
		\item En utilisant les résultats du 1., déterminer les réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle I = $]-0,1~;~10]$ par 

\[f(x) = 0,5x - \ln(10x + 1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to - 0,1 \\ x > - 0,1}} f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ représentant $f$ ?
\item Calculer la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x)$ a le même signe que $5x - 9,5$ sur l'intervalle I.

Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle I.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ a dans l'intervalle [6~;~10] une solution unique, que l'on notera $\alpha$.

Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle I = $]- 0,1~;~10]$ par :

\[F(x) = 0, 25x^2 + x - (x + 0,1)\ln(10x + 1)\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
		\item Calculer l'intégrale J $= \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte.
		\item On considère dans le repère défini initialement, l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~ y)$  tels que :
		 $\left\{\begin{array}{l c l c l}
0& \leqslant& x & \leqslant & 1\\
f(x) &\leqslant& y & \leqslant  & 0\\
\end{array}\right.$

Utiliser la question précédente pour déterminer l'aire $\mathcal{A}$  en cm$^2$ de cette région. On en donnera la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe (problème)}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-6)(7,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4](0,0)(-1,-6)(7,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-6)(7,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline(-0.106,1)(0.63,-6)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.065}{6}{0.5 x mul x 10 mul  1 add ln sub}
\uput[u](0.5,0){0,5} \uput[d](4,-1.75){\blue $(\mathcal{C})$}
\uput[l](0,-4.75){$-4,75$} \uput[dr](0.5,-4.75){M}
\uput[r](0.55,-5.25){(T)} \uput[d](7,0){$x$} \uput[r](0,1){$y$}
\psset{linewidth=2pt}
\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(0.5,-4.75)(0,-4.75)
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie génie électronique juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie électronique septembre 2006
\hypertarget{Metroelectrosep}{}

\label{Metroelectrosep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique~\decofourright\\[5pt] génie électrotechnique,  optique\\Métropole  septembre 2006}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
 j désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z : \quad  (1 - 2\text{i})z = (1 - \text{i})z - 1 - \text{i}$.
\item  Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $4$~cm, on considère les points A, B et D tels que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item A est le point d'affixe $z_{\text{A}} =1 - \text{i}$,
\item B est l'image du point A par la rotation $R$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ;
\item D est le symétrique du point A par rapport à O.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.
		\item  Calculer le module et un argument de l'affixe $z_{\text{A}}$ du point A.
		\item  Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D. Justifier.
		\item  Calculer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{B}}$ affixe du point B.
		\item  Justifier que le triangle AOB est équilatéral, en déduire la valeur de la distance AB.
	\end{enumerate}
\item  On note C l'image de B par la translation $T$ de vecteur d'affixe $-1 + \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Établir l'égalité vectorielle $\vect{\text{AD}} = 2\vect{\text{BC}}$.
		\item  Démontrer que le quadrilatère OBCD est un parallélogramme.
		\item  Prouver que CD = AB.
		\item  En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}	

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

Un joueur lance successivement et dans cet ordre trois pièces de monnaie : une de $2$~euros et deux de $1$~euro.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les différents résultats possibles, sachant qu'un résultat peut être considéré comme un triplet du type (P, F, P) par exemple, P désignant pile et F désignant face.

Chaque pièce est parfaitement équilibrée. On est dans une situation d'équiprobabilité.
\item  Si les trois pièces présentent leur côté face, le joueur perd $5$~euros : sinon il gagne la somme des euros figurant sur les pièces présentant leur côté pile.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lancer des trois pièces, associe la somme d'argent gagnée en euros. Lorsque le joueur perd, la variable $X$ prend alors une valeur négative.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles valeurs peut prendre $X$ ?
		\item  Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement \og  $X \leqslant  2$ \fg.
	\end{enumerate}
\item  On dit qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance mathématique du gain est égale à $0$.
	\begin{enumerate}
		\item  Ce jeu est-il équitable ?
		\item  Quelle somme le joueur devrait-il perdre lorsque les trois pièces présentent leur côté face pour que ce jeu soit équitable ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction}
 
\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$,  la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan et $f'$ la fonction dérivée de $f$.

On sait de plus que :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $-\infty$ ;
\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par le point A(0 ; 4)
\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet au point d'abscisse $\dfrac{1}{4}$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les nombres réels suivants en justifiant la réponse donnée :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.} $f(0)$&		\textbf{b.} $f'\left(\dfrac{1}{4}\right)$& \textbf{c.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
\end{tabularx}
\medskip
\item  On admet que, pour tout réel $x,~ f(x) = a + (bx+ c)\text{e}^{2x}$ où $a,~ b$ et $c$ sont trois constantes réelles.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x)  = (2bx+b + 2c)\text{e}^{2x}$.
\item  Exprimer en fonction de $a,~ b$ et $c$ les nombres réels suivants :\\
$f(0)~~;~~f'\left(\dfrac{1}{4}\right)~~;~~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f (x)$ (on admet que $ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$).
\end{enumerate}
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire des questions précédentes que les réels $a,~ b$ et $c$ sont solutions du système : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
 a + c &=&4\\
 \dfrac{3}{2}b + 2c & =& 0\\
 a&=&1\\
 \end{array\right.} \]
		\item Résoudre ce système et donner l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B: étude et représentation d'une fonction}
 
\medskip
On admet que $f$ est définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = 1 + (-4x + 3)\text{e}^{2x}.\]
 
\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative de $f$
dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité $2$~cm.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item  On rappelle que la droite $\Delta$ d'équation $y = l$ est asymptote à la courbe	$\mathcal{C}_{f}$	en $- \infty$.\\
étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$	par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x),~ f'$ étant la fonction dérivée de la fonction $f$.
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$ et établir son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4}~;~1\right]$.
		\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item  En utilisant les résultats précédents, construire sur la feuille de papier millimétré, la droite $\delta$
puis la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C :  calcul d'une aire}
 
\medskip
On considère les fonctions $h$ et $H$ définies sur $\R$ par :

\[h(x) = (-4x+3)\text{e}^{2x}~~ \text{et}~~ H(x) = \left(- 2x + \dfrac{5}{2}\right)\text{e}^{2x}.\]
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$.
\item  On appelle $\mathcal{D}$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{f}$ ,la droite $\Delta$ d'équation $y = 1$ et les droites
d'équations $x=-1$ et $x=0$.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer $\mathcal{D}$ sur le graphique.
		\item  Calculer la valeur exacte de la mesure, en cm$^2$, de l'aire $\mathcal{A}$ de $\mathcal{D}$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie électronique septembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie génie électronique novembre 2006
\hypertarget{Caledoelectro}{}

\label{Caledoelectro}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI novembre
 2006 Nouvelle-Calédonie~\decofourright}\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}
\end{center}

\emph{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même  temps que le sujet.}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv (unité graphique : 1~cm). 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans $\C$ l'équation 
\[z^2 - 4z\sqrt{3} + 16 = 0.\] 
\item Soient A et B les points d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}$ et $z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et de $z_{\text{B}}$· 
		\item Construire avec précision les points A et B dans le plan en laissant les traits de construction apparents. 
		\item  Donner le module et un argument de $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$. 
		\item  Donner une mesure en radians de l'angle de la rotation de centre O, qui transforme A en B.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Soit C le symétrique de A par rapport à O. Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C et placer le point C dans le plan. 

		\item  $t_{\vect{w}}$ désigne la translation de vecteur $\vect{w} = -4\sqrt{3}\vect{u}$. Soit D l'image de A par la translation $t_{\vect{w}}$.
		 
Déterminer son affixe $z_{\text{D}}$ et placer D.
	\end{enumerate} 
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,3)
\psline(0,0)(0,2) \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,1)(4.75,1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](7,1)(9,1)
\psline(0,1)(0.75,1)(1,1.5)(1.5,0.5)(2,1.5)(2.5,0.5)(3,1.5)(3.5,0.5)(4,1.5)(4.5,0.5)(4.75,0.5)
\psframe(4.75,0.25)(7,1.75) \psdots(5.85,1)(4.25,1)\uput[ur](5.85,1){G}
\uput[d](4.25,1){O}
\psline[linewidth=1pt]{<->}(5.85,2.5)(4.25,2.5)\uput[u](5.05,2.5){5 cm}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
On s'intéresse au mouvement d'un mobile qui se déplace sur un axe horizontal en étant fixé à un ressort.

 L'axe est muni d'un repère $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ l'unité étant le cm.
  
G désigne le centre d'inertie. À l'équilibre G et O sont confondus. On tire de 5~cm vers la droite le mobile et on lâche.
 
On appelle $f(t)$ la position du mobile sur l'axe à l'instant $t$ exprimé en secondes. Ainsi $f(0) = 5$.
 
On rappelle que la vitesse du mobile à l'instant $t$ est $f'(t)$ (donc $f'(0) = 0$). 

\textbf{Les questions 1. et 2. sont indépendantes.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On suppose, dans cette question uniquement, qu'il n'y a pas de frottements sur l'axe. On admettra dans ce cas, que la fonction $f$ vérifie l'équation différentielle suivante : (E) :

 \[y'' + 2y = 0.\]
  
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation différentielle (E). 
		\item  Déterminer la solution de (E) vérifiant $f(0) = 5$ et $f'(0) = 0$. 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose qu'il y a des frottements sur l'axe.
 
On admet dans ce cas que pour $t \geqslant  0$, on a : $f(t) = 5\sqrt{2} \text{e}^{-t}\cos\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $t \geqslant  0$, on a : $-5\sqrt{2} \text{e}^{-t} \leqslant  f(t) \leqslant  5\sqrt{2}\text{e}^{-t}$. 
		\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		 
Quel est le comportement du mobile pour $t$ assez grand ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip

Le but du problème est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x + \dfrac{1 + 2\ln (x)}{x}.\]
  
On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative dans un repère \Oij{} orthonormal (unité graphique : 2~cm)

\bigskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = x^2 + 1 - 2\ln (x)$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ (aucune limite n'est demandée).
	\end{enumerate} 
\item En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ ? 
		\item  Vérifier que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, $f(x) = x + \dfrac{1}{x} + 2 \dfrac{\ln (x)}{x}$ et en déduire la limite de  la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+\infty$. 
		\item  Pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, étudier le signe de $\dfrac{1 + 2\ln (x)}{x}$ et en déduire la position  
relative de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(\Delta)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x > 0$, on a $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$. 
		\item En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit A le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse 1.

Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ en A.  
\item Tracer la droite $(\Delta)$, la tangente (T) et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : calculs d'aire}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 
\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} + \ln (x) + [\ln (x)]^2.\] 
Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
 
\item Soit $(\mathcal{D})$ la partie du plan délimitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $(\mathcal{D})$ sur la figure. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire de $(\mathcal{D})$ exprimée en cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie génie électronique novembre 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane  génie des matériaux juin 2006
\hypertarget{Antillesmateriaux}{}

\label{Antillesmateriaux}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles-Guyane juin 2006~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à  un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On note $\text{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$~:
		
\[z^2 - 2z + 4 = 0\]

On notera $z_1$ la solution dont la partie imaginaire est positive, $z_2$ celle dont la partie imaginaire est négative.
		\item Déterminer le module et l'argument de $z_1$ et $z_2$.
		\item Soit $z_3 = \dfrac{4z_2}{z_1}$. Donner la forme algébrique de $z_3$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\text A$, $\text B$ et $\text C$ les points du plan complexe d'affixes respectives~: $z_\text A = 1 + \text i \sqrt3$~; $z_\text B = 1- \text i \sqrt3$~; $z_\text C = -2- 2\text i \sqrt3$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points $\text A$, $\text B$, $\text C$.
		\item Justifier que les points $\text O$, $\text C$ et $\text A$ sont alignés.
		\item Démontrer que le triangle $\text{ABC}$ est isocèle de sommet principal $\text B$.
		\item Soit $\text D$ le point du plan tel que $\text{ABCD}$ soit un parallélogramme. Calculer l'affixe du point $\text D$.
		\item Démonter que les droites $(\text{OA})$ et $(\text{BD})$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques cylindriques de longueur $L$ et de diamètre $D$.
\begin{enumerate}
\item On prélève un lot de \np{1000} pièces dans la production. On constate que~:
	
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
	\item 40 pièces ont une longueur non conforme~;
	\item 30 pièces ont un diamètre non conforme~;
	\item 10 pièces ont une longueur et un diamètre non conformes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau suivant~:
			
\medskip
			
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre de pièces & ayant une longueur conforme & ayant une longueur non conforme & Total \\ \hline
au diamètre conforme &  &  &  \\ \hline
au diamètre non conforme &  &  &  \\ \hline
Total & & & 1000 \\ \hline
\end{tabularx}
		\item Dans le lot de \np{1000} pièces, quel est le nombre de pièces conformes, c'est-à -dire ayant une longueur conforme et un diamètre conforme~?
		\item On choisit une pièce au hasard parmi les \np{1000} pièces du lot précédent.
		\item Calculer les probabilités des évènements suivants~:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
	\item $D_1:\text{\og la pièce a une longueur non conforme\fg}$~;
	\item $D_2:\text{\og la pièce a un diamètre non conforme\fg}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		\item Définir par une phrase l'évènement $D = D_1 \cup D_2$. Calculer sa probabilité.
		\item On choisit une pièce ayant une longueur conforme. Calculer à  $10^{-3}$, la probabilité que son diamètre soit conforme.
	\end{enumerate}
\item On admet que dans cette partie la proportion de pièces fabriquées ayant une dimension non conforme est égale à  6\,\%. L'entreprise possède une machine de contrôle destinée à  rejeter les pièces ayant une dimension non conforme. Des tests ont montrés que cette machine accepte toutes les pièces conformes mais ne rejette que 75\,\% des pièces non conformes.
	\begin{enumerate}
		\item On considère le même lot de \np{1000} pièces fabriquées. Recopier et compléter le tableau suivant~:
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|c|}\hline
				& Pièces conformes & Pièces conformes & Total \\ \hline
Pièces acceptées&  &  &  \\ \hline
Pièces rejetées & 0 &  &  \\ \hline
Total & & & \np{1000} \\ \hline
\end{tabularx}

		\item Le coût de fabrication d'une pièce (conforme ou non conforme) est de 15~euros. Son prix de vente est de 25~euros.

		 Une pièce conforme rapporte donc 10 euros et une pièce non conforme rejetée coûte 15 euros à  l'entreprise.

		On admettra qu'une pièce non conforme non rejetée est vendue 25~\euro, puis remplacée avec un coût supplémentaire pour l'entreprise de 30~\euro.

		Soit $X$ la variable aléatoire qui, à  chaque pièce choisie au hasard dans le lot de \np{1000} pièces, associe le gain (positif ou négatif) correspondant pour l'entreprise.
		\begin{enumerate}
			\item Donner l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
			\item Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
			\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de cette variable aléatoire.

En admettant que le lot étudié dans cet exercice soit représentatif de la production de l'entreprise, que représente $E(X)$ pour l'entreprise~?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 2+(x+1)\text{e}^{-x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

On prendra pour unité graphique~: 2~cm.

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie A : Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la forme développée $f(x) = 2 + x\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x}$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ à  la courbe $\mathscr C$ et donner une équation de cette asymptote.
		
Étudier la position de la courbe $\mathscr C$ par rapport à  celle de son asymptote $\Delta$
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
	\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
	
Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=-x\text{e}^{-x}$.
	
Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $x,~f'(x) =  0$.
	 \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
	\item On appelle $\text T$ la tangente à  la courbe en son point d'abscisse $-1$.
	
Déterminer une équation de la droite $\text T$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $2 <\text e < 3$, justifier que $f(-2) < 0$.
		\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-2~;~0]$.
		\item Déterminer, à  l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ au centième près par excès.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathscr C$ et les droites $\Delta$ et $\text T$ dans le plan muni du repère \Oij.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $F$, la fonction définie sur $\R$ par~: 

\[F(x) = 2x - (x + 2)\text{e}^{-x}.\]
	
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
\item Soit $\mathcal D$ le domaine délimité par la courbe $\mathscr C$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \alpha$, $\alpha$ étant la valeur trouvée à  la question 4. de la partie A.
 	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique obtenu à  la question 6 de la partie A.
		\item Calculer, en fonction de $\alpha$, la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathscr A$ du domaine $\mathcal D$.
		\item En utilisant la valeur approchée de $\alpha$ déterminée dans la question A 5. c., donner une valeur approchée de l'aire $\mathscr A$ en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane  génie des matériaux juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion génie des matériaux juin 2006
\hypertarget{LaReunionmateriaux}{}

\label{LaReunionmateriaux}
\lhead{\small{Baccalauréat STI Génie des  matériaux, génie mécanique B, C, D, E}}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2006~\decofourright
\\[5pt]Génie des  matériaux, génie mécanique B, C, D, E\\ }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On désigne par (E) l'équation différentielle : $2y^\prime + y = 0$ où $y$ est une fonction numérique définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).
\item Déterminer la solution particulière $f$ de (E) telle que $f(0) =  0,5$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La direction d'un musée vient de faire l'acquisition d'une nouvelle statue et elle souhaite réaliser un socle en bois pour y déposer celle-ci. On appelle V le volume de ce socle dont la forme est donnée sur la feuille annexe jointe.

Le socle est constitué de deux parties.


\begin{enumerate}
\item  La première partie est un cylindre de révolution de $0,50$~m de rayon et de $0,50$~m de hauteur. Calculer la valeur exacte, en m$^3$, du volume V$_{1}$ de cette première partie.
\item Le volume V$_{2}$ de la deuxième partie est celui du solide de révolution engendré par la
rotation autour de l'axe des abscisses, du domaine plan limité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$ d'équation

$y = 0,5 \text{e}^{-0,5x}$	et les droites
d'équations $x = 0$ et $x = 0,5$.

On précise que la valeur exacte, en m$^3$, de ce volume est donnée par la formule :

\[\text{V}_{2}= \pi\displaystyle\int_{0}^{0,5} [f(x)]^2\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer V$_{2}$.
		\item En déduire que la valeur exacte, en m$^3 $, du volume du socle est :

\[\text{V} = \dfrac{\pi\left(3 - 2\text{e}^{-0,5}\right)}{8}.\]

		\item Donner la valeur arrondie du volume V à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : $2$~cm).

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante :

\[ \text{i}z =  - \sqrt{3} + \text{i}.\]

Exprimer la solution sous forme algébrique.
\item Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}}$ défini par $z_{\text{A}} =2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
		\item En déduire que l'écriture algébrique de $z_{\text{A}}$ est $1  + \text{i}\sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par B et C les points dont les affixes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sont définies par :

\[z_{\text{B}} = - z_{\text{A}}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{C}} = z_{\text{A}}^2.\]
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique.
		\item Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
		\item Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
	\end{enumerate}
\item On note D le point d'affixe $z_{\text{D}}$ définie par 
$z_{\text{D}} = \dfrac{4}{z_{\text{A}}}$.

Montrer que $z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z_{\text{A}}$.
\item On note E le point de la droite (AC) dont l'affixe $z_{\text{E}}$ est un nombre réel. Calculer $z_{\text{E}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

On note I l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

On considère la fonction numérique $f$ définie, pour tout nombre réel $x$ de I, par :
 
\[f(x) = x^2+ ax + b - 2 \ln x.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm). Soit A le point de coordonnées $(1~;~-3)$.

Calculer les valeurs respectives des nombres réels $a$ et $b$ pour que, d'une part la courbe $\mathcal{C}$passe par le point A et que, d'autre part, la tangente à cette courbe au point A admette un coefficient directeur égal à $0$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans toute la suite du problème, on étudiera la fonction numérique $f$ définie, pour tout nombre réel $x$ de I, par :

\[f(x) = x^2 - 4  - 2 \ln x.\]
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de I, on a 
$f(x) = x\left(x - \dfrac{4}{x} - 2\dfrac{\ln x}{x}\right)$.
		\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f^\prime$ de la fonction $f$  puis montrer que, pour tout
nombre réel $x$ de I, on a $f^\prime(x) =  \dfrac{2(x - 1)(x + 1)}{x}$.
\item Étudier le signe de la fonction $f^\prime$ sur I et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur I.
\item Déterminer le signe de $f(x)$ quand le nombre réel $x$ appartient à l'intervalle [1~;~2].
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $H$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$ de I, par :
 
\[H(x) = x \ln  x - x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $H^\prime(x)$ où $H^\prime$ désigne la fonction dérivée de $H$.
\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur I.
\item On appelle $\Delta$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$. Hachurer $\Delta$. Calculer la valeur exacte de l'aire de $\Delta$ en unités d'aire, puis en cm$^2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

Annexe de l'exercice 1

\vspace{2cm}

\begin{pspicture}(11,12)
%\psgrid
\pscurve(3,2.25)(3.2,1.9)(3.5,1.62)(4,1.4)(5,1.18)(6,1.06)(7,1)(8,1.06)(9,1.18)(10,1.4)(10.5,1.62)(10.8,1.9)(11,2.25)
\psellipse(7,9.5)(3,1)
\pscurve(3,5.95)(3.2,5.6)(3.5,5.32)(4,5.1)(5,4.88)(6,4.76)(7,4.7)(8,4.76)(9,4.88)(10,5.1)(10.5,5.32)(10.8,5.6)(11,5.95)
\pscurve(3,5.95)(3.2,6.45)(3.4,7)(3.6,7.7)(3.8,8.3)(4,9.5)
\pscurve(11,5.95)(10.8,6.45)(10.6,7)(10.4,7.7)(10.2,8.3)(10,9.5)
\pscurve[linestyle=dashed](3,2.25)(3.5,2.85)(4,3.07)(5,3.3)(6,3.45)(7,3.5)(8,3.45)(9,3.3)(10,3.07)(10.5,2.85)(11,2.25)
\pscurve[linestyle=dashed](3,6)(3.5,6.6)(4,6.82)(5,7.05)(6,7.2)(7,7.25)(8,7.2)(9,7.05)(10,6.82)(10.5,6.6)(11,6)
\psline[linestyle=dashed](7,0)(7,12) 
\psline(3,2.25)(3,6) \psline(11,2.25)(11,6)
\psline[linestyle=dashed](0,2.25)(3,2.25)
\psline[linestyle=dashed](0,6)(3,6)
\psline[linestyle=dashed](0,9.5)(4,9.5)
\psline[linestyle=dashed](11,0)(11,2.25)
\psline{<->}(7,0.2)(11,0.2)
\psline{<->}(0,2.25)(0,6)
\psline{<->}(0,6)(0,9.5)
\uput[u](9,0.2){0,50 m}
\rput{90}(-0.2,4){0,50 m}
\rput{90}(-0.2,7.5){0,50 m}
\psline[linestyle=dashed](10,9.5)(10,11)
\psline{<->}(7,11)(10,11)
\uput[u](8.5,11){0,39 m (*)}
\rput(3,0){(*) Cette cote a été arrondie au centième}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion génie des matériaux juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie des matériaux juin 2006
\hypertarget{Metromateriaux}{}

\label{Metromateriaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2006~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation
 
\[(z - 4)\left(z^2 + 4z + 16\right) = 0.\]

\item Soient les nombres complexes suivants :

\[z_{1} = 4\qquad 	z_{2} =  -2 - 2\text{i}\sqrt{3}\qquad	z_{3} =   - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}\qquad 	z_{4} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\qquad z_{5} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\]

\begin{enumerate}
\item  Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{1},\:z_{2}, \:z_{3}$.
\item Donner les formes algébriques de $z_{4}$ et de $z_{5}$.
\end{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm. Soient les points A, B, C, D et E d'affixes respectives $z_{1},\: z_{2},\: z_{3},\: z_{4}$  et $z_{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A , B , C , D  et E dans le repère indiqué.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) suivante :

\[\pi^2y  +  9y'' = 0,\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $g$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par :

\[g(x) = 2\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 4\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right).\]

Vérifier que la fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle (E).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E).
		\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie :
		
\[f(0) = 1 \quad  \text{et}\quad f'(0) = \dfrac{\pi}{3}.\]

		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x)$ peut s'écrire sous la forme
		
\[f(x) = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x - \dfrac{\pi}{4}\right).\]

		\item Résoudre dans l'intervalle [0 ; 3] l'équation $f(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels l'équation $2X^2 - 5X + 2 = 0$.
\item En déduire les solutions, sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, de l'équation 

$2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2 =  0$.

On pourra poser $X =  \ln x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[ f(x) = 2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2.\]

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni du repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $1$~cm.

\begin{enumerate}
\item  Limites aux bornes
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on pourra factoriser par $\ln x$).

	\end{enumerate}
\item Variations
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		
Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$,

$f'(x) = \dfrac{4 \ln x - 5}{x}$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On pourra remarquer que la fonction $f$ s'annule en $\sqrt{\text{e}}$ et en $\text{e}^2$.
	\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente T dans le repère orthonormal \Oij.
\item Calcul d'une aire
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer le domaine $\mathcal{A}$ du plan situé en dessous de l'axe (O$x$) et compris entre la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe (O$x$).
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

$F(x) = x\left[2(\ln x)^2 - 9 \ln x + 11\right]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine $\mathcal{A}$. En donner l'arrondi à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie des matériaux juin 2006
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie des matériaux septembre 2006
\hypertarget{Metromateriauxsep}{}

\label{Metromateriauxsep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2006~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante :

\[  z^2 + 2 z\sqrt{3} + 4 = 0\]

On note $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive, $z_{2}$ la solution dont la partie imaginaire est négative.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ puis de $z_{2}$.
		\item En déduire le module et un argument de $z_{1}^2$ puis de $z_{2}^2$.
		\item Donner les formes algébriques des nombres complexes $z_{1}^2$ et $z_{2}^2$.
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : $2$~cm).
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C, D d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i},\\z_{\text{B}} = - \sqrt{3} - \text{i},~z_{\text{C}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{D}} =  2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise produit des rondelles métalliques. Ces rondelles peuvent présenter deux défauts :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] un défaut de diamètre,
\item[$\bullet~$] un défaut d'épaisseur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le pourcentage des pièces présentant un défaut de diamètre est de 6\,\%. Celui des pièces présentant un défaut d'épaisseur est de 8\,\%. Le pourcentage des pièces présentant les deux défauts est de 5\,\%.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en indiquant dans chaque case le pourcentage correspondant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
							&Avec le défaut de diamètre&	Sans le défaut de diamètre&	Total\\ \hline
Avec le défaut d'épaisseur	&							&	&  \\ \hline
Sans le défaut d'épaisseur	&							&	&  \\ \hline
Total						&6\,\%						&	&100\,\% \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\item Une pièce est choisie au hasard dans la production. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies. Montrer que la probabilité $p_{1}$ de présenter un défaut d'épaisseur et pas de défaut de diamètre est égale à 3\,\%.
\item  Une pièce est choisie au hasard parmi les pièces présentant un défaut de diamètre. Quelle est la probabilité $p_{2}$ qu'elle présente un défaut d'épaisseur ?
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui à toute pièce de cette production prise au hasard associe le nombre de défauts observés sur celle-ci.

	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
		\item  Donner sous la forme d'un tableau la loi de la variable aléatoire $X$.
		\item  Calculer E($X$), l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ (on détaillera les calculs effectués).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie I :}  étude de la fonction $f$

\medskip
	
Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique $5$~cm.
\begin{enumerate}
\item Étudier la parité de la fonction $f$ sur $\R$.

En déduire une propriété géométrique de la courbe $\mathcal{C}$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, puis en $- \infty$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. Déterminer $f'(x)$.
\item Étudier le signe de $\left(\text{e}^x + \text{e}^{-x}\right)$ sur $\R$.

En déduire le signe de $f(x)$.
\item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\item Sur une feuille de papier millimétré, et en utilisant le repère indiqué, construire la portion de la courbe $\mathcal{C}$ dont les abscisses appartiennent à l'intervalle $[-2~;~2]$.

Placer les points A et B de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-1$ et $1$.

On rappelle que l'unité graphique est 5~cm.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II :} étude de la longueur d'un arc de la courbe

\medskip

On appelle $\ell$ la longueur de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de la courbe $\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point E d'abscisse $0$ de la courbe $\mathcal{C}$.
\item  Calculer, en centimètre, les valeurs exactes des longueurs AE et EB.

En déduire qu'une valeur arrondie à $10^{-2}$ de (AE + EB) est égale à  11,38 cm.
\item   On admet que la longueur $\ell$ de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ est donnée en centimètre par la formule suivante :

\[\ell = 5 \times \int_{-1}^{1} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $1+ [f'(x)]^2 = \left(\dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}  \right)^{2}$.
		\item Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{1} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\:\text{d}x$.
		\item En déduire la valeur exacte de la longueur de cet arc. Quelle est l'erreur commise en prenant (AE $+$ EB) comme valeur approchée de $\ell$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie des matériaux septembre 2006
\end{document}