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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à Vincent Tolleron pour le sujet
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{v}}
\rfoot{\small{19 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane~\decofourright\\[4pt]
 19 juin 2014}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Aucune justification n'est demandée. 
 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel quelconque, $\text{e}^{- 4x}$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\text{e}^{x} \times \text{e}^{- 4}$&\textbf{b.~~} $- \text{e}^{4x}$&\textbf{c.~~} $x \times \text{e}^{- 4}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{\text{e}^{4x}}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item L'intégrale 	$\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\text{e}^{2x}\:\text{d}x$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 5&\textbf{b.~~} 10&\textbf{c.~~} 2,5&\textbf{d.~~} 1\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $0,98$.

$\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 2,8$ et de raison $1,02$. 

Le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 14 &\textbf{b.~~} 15 &\textbf{c.~~} 16&\textbf{d.~~}17\\
\end{tabularx}
\medskip 
  
\item $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 1$ et de raison $\dfrac{5}{3}$.
 
On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}		& 	$n, u$\\ 
\textbf{Initialisation}	& $u$ prend la valeur 1\\ 
						&$n$ prend la valeur $0$\\ 
\textbf{Traitement}		& Tant que $u < \np{1000}$\\
						&\hspace{0.3cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
						&\hspace{0.3cm}$u$ prend la valeur $u \times \dfrac{5}{3}$\\
						&Fin tant que\\ 
\textbf{Sortie}			& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Cet algorithme affiche en sortie : 

	\begin{enumerate}
		\item  la valeur de $u_{\np{1001}}$
 		\item  la plus grande valeur de $n$ vérifiant $u_{n} < \np{1000}$ 
		\item  la plus petite valeur de $n$ vérifiant $u_{n} \geqslant \np{1000}$ 
		\item  la plus petite valeur de $u_{n}$ vérifiant $u_{n} \geqslant \np{1000}$
\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
 
La fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  $y'' + y = 0$& 
\textbf{b.~~}  $16y'' - 9y = 0$ &
\textbf{c.~~}  $9y'' + 16y = 0$& 
\textbf{d.~~}  $9y'' - 16y = 0$\\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
Dans cet exercice, on s'intéresse à deux types A et B de téléviseurs à écran plat. 

Les réponses aux questions 1. a., 1. b. et 1. c. seront arrondies au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un téléviseur du type A, avant que survienne la première panne, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-5}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la première panne survienne avant la \np{32000}\up{e} heure de fonctionnement. 
		\item On s'intéresse à un téléviseur de type A fonctionnant chaque jour pendant 4 heures. Calculer la probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans.
		 
\emph{On prendra $1$ année = $365$ jours}. 
		\item Calculer la probabilité que la première panne survienne après \np{10000}~heures et avant \np{40000}~heures de fonctionnement. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
	\end{enumerate} 
\item La durée de fonctionnement avant la première panne d'un téléviseur de type B est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda'$. 

Une étude statistique a permis d'évaluer $P(Y \leqslant \np{32000}) = 0,8$. 

Calculer la valeur arrondie à $10^{-5}$ de $\lambda'$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip

\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unités 5~cm. 

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

Soit $z$ le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$,\: 
$\overline{z}$ est le nombre complexe conjugué de $z$. 


\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les écritures algébriques de $z$, de $\overline{z}$ et de $\dfrac{1}{2}\overline{z}$. 
\item  On considère le nombre complexe $p = \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p = - \text{i}\sqrt{3}$. 
		\item Les points M, N et P sont les points d'affixes respectives 1, $\dfrac{1}{2}\overline{z}$ et $p$. 
		
Placer ces trois points dans le repère. Justifier l'alignement de ces trois points.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

Soit $u$ le nombre complexe défini par $u = \dfrac{1}{2}z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $u$ sous la forme exponentielle. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de $u^3$. 
		\item Vérifier les relations suivantes : $u^4 = - u$ et $u^5 = - u^2$. 
		\item Vérifier que $1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 1$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\]
 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille \textbf{ANNEXE}. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lire sur le graphique la limite de la fonction $f$ en 0. Retrouver ce résultat à l'aide de l'expression de $f(x)$. 
\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ est définie par $f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ est dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ puis donner les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On appelle A et B les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points A et B. 
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A. Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur le graphique donné en annexe.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $F$ définie par 

\[F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\]

 est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine $\mathcal{D}$. 
		\item Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à remettre avec la copie}

\vspace{3cm}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-1,-8.5)(12.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,-9)(12.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-8.5)(12.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](1,0){A}\uput[u](7.4,0){B}\uput[d](10.5,-0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{12.5}{2 x ln sub x ln mul}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{document}