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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
%Correction : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
\def\i{\text{i}}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL},
pdftitle = {Antilles-Guyane  juin 2013},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{19 juin 2013}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Correction du baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\Antilles-Guyane 19 juin 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item %L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite que l'on appellera $\left(u_{n}\right)$.

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|ll|}\hline
%\emph{Entrée} :		& Saisir la valeur de l'entier naturel $n$\\ 
%\emph{Traitement} :	& Affecter 2 à la variable $u$\\
%&\hspace{0.75cm} Pour $i$ variant de 1 à $n$\\
%&\hspace{1.5cm} Affecter $1,5u$ à $u$\\
%&\hspace{0.75cm} Fin de Pour\\
%\emph{Sortie} :&Afficher $u$\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
% 
%Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l'on saisit $n = 1$, puis $n = 2$ et enfin $n = 3$ ? 
Pour $n = 1$, l'algorithme affiche $u_{1} = 2 \times 1,5 = 3$.

Pour $n = 2$, l'algorithme affiche $u_{2} = 3 \times 1,5 = 4,5$.

Pour $n = 3$, l'algorithme affiche $u_{3} = 4,5 \times 1,5 = 6,75$.
\item %On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n,$

%$u_{n+1} = 1,5 u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
		D'après la définition, $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 1,5$ et de premier terme $u_{0} = 2$. 
		\item %Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression du terme $u_{n}$ en fonction de $n$.
		On sait que pour tout naturel $n$, \: $u_{n} = u_{0}\times q^n = 2 \times 1,5^n$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

%\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les valeurs des termes $S_{0}, S_{1}$ et $S_{2}$.
$S_{0} = u_{0} = 2$ ;

$S_{1} = u_{0} + u_{1} = 2 + 3 = 5$ ;

$S_{2} = u_{0} + u_{1} + u_{2} = 2 + 3 + 4,5 = 9,5$.
		\item %Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il affiche la valeur du terme $S_{n}$ pour un $n$ donné ? 

%Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie.
Voici l'algorithme modifié :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
\emph{Entrée} :		& Saisir la valeur de l'entier naturel $n$\\ 
\emph{Traitement} :	& Affecter 2 à la variable $u$\\
&Affecter 2 à la variable $S$\\
&\hspace{0.75cm} Pour $i$ variant de 1 à $n$\\
&\hspace{1.5cm} Affecter $1,5u$ à $u$\\
&\hspace{1.5cm} Affecter $S + u$ à $S$\\
&\hspace{0.75cm} Fin de Pour\\
\emph{Sortie} :&Afficher $S$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
		\item %Calculer le terme $S_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$.
La somme des termes de $u_{0}$ \`a $u_{n}$ est égale \`a :

$S_{n} = \displaystyle\sum_{k = 0}^n u_{k} = u_{0} \times\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} =  2 \times \dfrac{1 - 1,5^{n+1}}{1 - 1,5} = 2 \times \dfrac{1,5^{n+1} - 1}{1,5 - 1} = 4\left(1,5^{n+1} - 1\right) =$

$S_{n} =  6 \times 1,5^n - 4$.  
		\item %En déduire la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$.
		Comme $1,5 > 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 1,5^n = + \infty$, donc  $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_{n} = + \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
%Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique pour la compétition. Le responsable de la qualité cherche à analyser la production.
% 
%Il mesure pour cela la masse des boules d'un échantillon (E) de $50$~pièces de la production concernée, et obtient les résultats suivants pour la série statistique des masses :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Masse en g 
%&\np{1195} &\np{1196} &\np{1197} &\np{1198} &\np{1199} &\np{1200} &\np{1201}& \np{1202} &\np{1203} &\np{1204}\\ \hline 
%Nombre de boules &1 &3 &4 &6 &8 &11 &6 &5 &3 &3\\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
% 
%Une boule est dite \og de bonne qualité \fg{} si sa masse en grammes $m$ vérifie : 
%
%\[\np{1197} \leqslant m \leqslant \np{1203}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules de bonne qualité.
Il y a $1 + 3 + 3 = 7$ boules dont la masse n'appartient pas \`a l'intervalle [\np{1197}~;~\np{1203}]. Il y a donc $50 - 7 = 43$ boules de \og de bonne qualité \fg{} sur 50 soit $\dfrac{43}{50} = \dfrac{86}{100} = 0,86 = 86\,\%$.
		\item %Déterminer la moyenne et l'écart type de la série des masses de cet échantillon. (On donnera des valeurs approchées au gramme près.)
		La moyenne : $\overline{m} = \dfrac{1 \times \np{1195} + 3 \times \np{1196} + \ldots 3 \times \np{1204}}{50} = \np{1199,76} \approx \np{1200}$~(g).

Pour l'écart-type $\sigma$, la calculatrice donne $\sigma \approx 2$.
	\end{enumerate} 

%Dans la suite de l'exercice, on admet que la probabilité qu'une boule soit de bonne qualité est : $p = 0,86$.
 
%Les résultats des différentes probabilités seront donnés au millième près.
\item %L'entreprise livre des lots de boules à un client. On assimile le choix de chaque pièce d'un lot à un tirage avec remise.
  
%On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un lot donné de $50$~boules, associe le nombre de boules de bonne qualité. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres $n$ et $p$.
Le choix de chaque pièce d'un lot étant assimilé à un tirage avec remise, et comme il n'y a que deux issues $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,86$. 
		\item %Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins $48$~boules de bonne qualité dans le lot.
Cette probabilité est égale \`a $p(X = 48) + p(X = 49) + p(X = 50) \approx \np{0,01723} + \np{0,00432} + \np{0,00053} \approx \np{0,02208}\approx 0,022$.
	\end{enumerate} 
\item %On décide d'approcher la loi binomiale suivie par la variable aléatoire $X$ par une loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $\sigma$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $m = 43$ et $\sigma \approx 2,45$.
		$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,86$, donc $m = 50 \times 0,86 = 43$ et $\sigma = \sqrt{50 \times 0,86 \times (1 ) 0,86)} = \sqrt{6,02} \approx 2,453 \approx 2,45$.  
		\item %Déterminer, à l'aide de cette loi normale, une approximation de la probabilité qu'il y ait au moins $48$~boules de bonne qualité dans le lot.
On a $P(X \geqslant 48) = 0,5 - P(43 \leqslant X \leqslant 48) \approx 0,02$.
	\end{enumerate} 
\item %Le client reçoit un lot de $50$~boules. 
	\begin{enumerate}
		\item %Préciser l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de $50$~pièces.
L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de $50$~pièces est égal \`a :

$I = \left[0,86 - 1,96 \sqrt{\dfrac{0,86 \times 0,14}{50}}~;~0,86 + 1,96 \sqrt{\dfrac{0,86 \times 0,14}{50}}  \right] \approx [0,764~;~0,956]$. 
		\item %Dans son lot, le client a $42$~boules qui sont de bonne qualité.
		 
%Il affirme au fabricant que la proportion de boules de bonne qualité est trop faible au regard de la production habituelle de l'entreprise.
 
%Peut-on donner raison au client au seuil de confiance de 95\,\% ? Justifier.
On vérifie que :

$n = 50 \quad ; \quad np = 50 \times 0,86 = 43 \quad ; \quad n(1 - p) = 50 \times 0,14 = 7$.

Toutes les conditions sont réunies et il y a 42boules de bonne qualité sur 50 soit une fréquence $f = \dfrac{42}{50} = 0,84$.

Comme $0,84 \in [0,764~;~0,956]$, on peut dire au seuil de confiance de 95\,\% que 86\,\% des boules sont de bonne qualité.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
% 
%On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
%
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère l'équation (E) d'inconnue $z$ : 

%\[(2 - \text{i})z = 2 - 6\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans $\C$ l'équation (E). On notera $z_{1}$ la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique.
$(2 - \text{i})z = 2 - 6\text{i} \iff z = \dfrac{2 - 6\text{i}}{2 - \text{i}}\iff z =  \dfrac{(2 - 6\text{i})(2 + \text{i})}{(2 - \text{i})(2 + \text{i})} $

$\iff z = \dfrac{4 + 2\text{i} - 12\text{i} + 6}{4 + 1} \iff z = \dfrac{10 - 10\text{i}}{5} = 2 - 2\text{i}$.

On a donc $z_{1} = 2 - 2\text{i}$.
		\item %Déterminer la forme exponentielle de $z_{1}$.
Si $r$ est le module de $z_{1}$, on a $r^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$, donc $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Si $\theta$ est l'argument de $z_{1}$, on sait que $\left\{\begin{array}{l c l}
\cos \theta&=&\dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
\sin \theta&=&\dfrac{- 2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{- 1}{\sqrt{2}} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right.$

On a donc $\theta = - \dfrac{\pi}{4}$ et $z_{1} = 2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$. 
		\item %Soit $z_{2}$ le nombre complexe défini par : $z_{2} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} \times  z_{1}$. 

%Déterminer les formes exponentielle et algébrique de $z_{2}$.
D'après la question précédente $z_{2} =  \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} \times 2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = 
2\sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{3\pi}{4}}$.

Or $\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} = \cos \left(- \frac{\pi}{2}\right) + \text{i}\sin \left(- \frac{\pi}{2}\right) = 0 - - \text{i} = - \text{i}$.

Donc $z_{2} = - \text{i}(2 - 2\text{i}) = -2\text{i} - 2 = - 2 - 2\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item %Soit A, B et C les points du plan d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i},\: z_{\text{B}} = - 2 - 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = - 4\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
		Voir la figure 
		\item %Calculer le produit scalaire $\vect{\text{CA}} \cdot \vect{\text{CB}}$.
Le repère étant orthonormal, avec $\vect{\text{CA}}\begin{pmatrix}- 2\\- 2\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{CB}}\begin{pmatrix} 2\\- 2\end{pmatrix}$, on a 

$\vect{\text{CA}} \cdot \vect{\text{CB}} = - 2 \times 2 + - 2 \times (- 2) = - 4 + 4 = 0$.	 	
		\item %Déterminer la nature du triangle ABC.
D'après la question précédente $\vect{\text{CA}}$ et $\vect{\text{CB}}$ sont orthogonaux donc (CA) est perpendiculaire \`a (CB) : le triangle ABC est rectangle en C.

D'autre part CA$^2 = (- 2)^2 + (- 2)^2 = 4 + 4 = 8$ et

CB$^2 = (- 2)^2 + (- 2)^2 = 4 + 4 = 8$.

CA$^2$  = CB$^2$ donc CA = CB : le triangle est isocèle en C.

Conclusion : le triangle ABC est rectangle isocèle en C.	
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip 

%Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
% 
%\[f(x) = \dfrac{1}{x} - \ln x.\] 
% 
%On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. 

\begin{enumerate}
\item %Sur le graphique ci-dessous, on donne $\mathcal{C}_{f}$ et les courbes $C$ et $\Gamma$. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée $f'$ de $f$, et l'autre une des primitives $F$ de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Indiquer laquelle des deux courbes $C$ et $\Gamma$ représente graphiquement $f'$. Justifier.
Sur le graphique on voit que $f$ est décroissante sur $]0~;~+ \infty[$ ; donc sur cet intervalle $f'(x)  < 0$ : seuls les points de $\Gamma$ ont leurs ordonnées négatives : $\Gamma$ est donc la représentation de $f'$. 
		\item %Par lecture graphique, donner $F(1)$.
D'après la question précédente  $C$ est la représentation graphique de l'une des primitives de $f$. On lit sur le graphe que le point de $C$ d'abscisse 1 a pour ordonnée 1. $F(1) = 1$.
	\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1,-4)(9,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.9,-4)(9,3.5)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.39}{6.5}{1 x div x ln sub}\uput[r](0.4,3){$\mathcal{C}_{f}$}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.646}{8}{x 1 add x dup mul div neg}\uput[r](0.7,-3.9){$\Gamma$}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{0.04}{6.6}{x ln   1  x  sub mul x add}\uput[r](0.05,-2){$C$}
%\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\item %Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. 
%Interpréter graphiquement cette limite.
On a pour $x > 0$, \: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x  = - \infty$, donc par différence $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} - \ln x  = + \infty$.

Graphiquement ceci signifie que l'axe des ordonnées est asymptote verticale au graphe de $f$.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \ln x = - \infty$, donc par somme de limites, 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$. 
		\item %Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire : $f'(x) = \dfrac{- x - 1}{x^2}$.
Sur $]0~;~+ \infty[$, \:$f$ est dérivable et 

$f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{- 1 - x}{x^2} = - \dfrac{x + 1}{x^2} = \dfrac{- x - 1}{x^2}$. 
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ puis donner le tableau de variations de $f$.
		Comme $x^2 > 0$ pour $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $- x - 1$.
		
$- x - 1 > 0 \iff - 1 > x \iff x < - 1$ et $- x - 1 < 0 \iff - 1 < x \iff x > - 1$.

Comme $x > 0$, la dérivée est donc négative et ceci confirme que la fonction $f$ est décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
\psframe(5,3)\psline(0,2)(5,2)\psline(0,2.5)(5,2.5)\psline(1,0)(1,3)\psline(1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](4.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](3,1.9){$-$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.5,1.5)(4.5,0.5)
\uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[u](4.5,0){$- \infty$} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

%\[H(x) = x - (x - 1) \ln x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
On a $H'(x) = 1 - 1\ln x - (x - 1) \times \dfrac{1}{x} = 1 - \ln x - 1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} - \ln x = f(x).$

$H$ est donc une des primitives de $f$. 
		\item %En déduire l'expression de la fonction $F$ de la question 1.
On a $H(1) = \dfrac{1}{1} - \ln 1 = 1$ et on a vu que $F(1) = 1$, donc $F = H$ et $F(x) =  x - (x - 1) \ln x$.
		\item %Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.
On connaît une primitive de $f$ on peut donc calculer l'intégrale :
	
$\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \left[F(x)  \right]_{0}^{\text{e}} = F(\text{e}) - F(1) = $

$\text{e} - (\text{e} - 1) \ln \text{e} - \left[1 - (1 - 1) \ln 1  \right] = \text{e} - (\text{e} - 1) - 1 = 1 - 1 = 0.$	 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}