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%Tapuscrit : Arié Yallouz
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL 19 juin 2014~\decofourright\\[4pt]Métropole--La Réunion }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
Une chocolaterie industrielle fabrique des tablettes de chocolat de 200 grammes. Une machine qui fabrique les tablettes est préréglée afin de respecter cette masse de 200 grammes.

Lors de la fabrication, toutes les tablettes de chocolat sont pesées et celles dont la masse est inférieure à 195 grammes sont rejetées. L'entreprise ne les commercialisera pas sous cette forme.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une tablette de chocolat prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart type 2,86.

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og $195 \leqslant X \leqslant 205$ \fg .
\item Déterminer la probabilité qu'une tablette de chocolat prise au hasard dans la production ne soit pas rejetée après pesée.
\end{enumerate}
\item Une étude statistique a établi que, si la machine est bien réglée, la proportion de tablettes de chocolat rejetées est de 4 \%.

Afin de vérifier le réglage de la machine, le responsable qualité prélève de manière aléatoire un échantillon de 150 tablettes et observe que 10 tablettes sont rejetées.

Cette observation remet-elle en cause le réglage de la machine ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.)

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

On considère les deux nombres complexes $z=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$ et $z'=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La forme algébrique de $z$ est égale à :
\begin{enumerate}
\item $z=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$
\item $z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$
\item $z=2+\mathrm{i}\sqrt{3}$
\item $z=\sqrt{3}-\mathrm{i}$
\end{enumerate}
\item Le nombre complexe $z'$ est le nombre complexe :
\begin{enumerate}
\item opposé de $z$
\item inverse de $z$
\item conjugué de $z$
\item opposé du conjugué de $z$
\end{enumerate}
\item Le nombre complexe $z \times z'$ :
\begin{enumerate}
\item est un nombre réel
\item est un nombre imaginaire pur
\item a pour module 2
\item est un nombre complexe dont un argument est $\dfrac{4\pi}{3}$
\end{enumerate}
\item Un argument du nombre complexe $z''$ tel que $z \times z'' = \mathrm{i}$ est :
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\pi}{3}$
\item $\dfrac{5\pi}{6}$
\item $\dfrac{\pi}{6}$
\item $-\dfrac{\pi}{6}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps $t$ est exprimé en heures.

Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant $t = 0$, les ailerons, à une température de 5 °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à $-24$~°C.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps $t$ par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $f (t) = 35\mathrm{e}^{-1,6t}-30$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
\item Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
\item Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=-24$ et interpréter le résultat trouvé.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.

La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$, qui est solution de l'équation différentielle $y' + 1,5y = -52,5$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $y'+1,5y = - 52,5$.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que $g(0) = 5$.
\item Vérifier que la fonction $g$ est définie par $g(t) = 40\mathrm{e}^{-1,5t} - 35$.
\end{enumerate}
\item Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

\emph{Au cours de son évolution, une tornade se déplace dans un corridor de quelques centaines de mètres de large sur quelques kilomètres de long.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{document 1 :}}}

\medskip

\emph{L'échelle de Fujita est une échelle servant à classer les tornades par ordre de gravité, en fonction des dégâts qu'elles occasionnent. Une partie de cette échelle est présentée dans le tableau ci-dessous.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering}m{2.5cm}|X|}\hline
\textbf{Catégorie} & \textbf{Vitesse des vents en $\text{km}.\text{h}^{-1}$} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Dégâts occasionnés}} \\ \hline \hline
F0 & 60 à 120 & \textbf{Dégâts légers :} dégâts sur cheminées, arbres, fenêtres,\ldots \\ \hline
F1 & 120 à 180 & \textbf{Dégâts modérés :} automobiles renversées, arbres déracinés,\ldots \\ \hline
F2 & 180 à 250 & \textbf{Dégâts importants :} toits arrachés, hangars et dépendances démolis, \ldots \\ \hline
F3 & 250 à 330 & \textbf{Dégâts considérables :} murs extérieurs et toits projetés, maisons et bâtiments de métal effondrés, forêts abattues, \ldots \\ \hline
F4 & 330 à 420 & \textbf{Dégâts dévastateurs :} murs effondrés, objets en acier ou en béton projetés comme des missiles, \ldots \\ \hline
F5 & 420 à 510 & \textbf{Dégâts incroyables :} maisons rasées ou projetées sur de grandes distances, murs extérieurs et toits arrachés sur de gros bâtiments, \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{document 2 :}}}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{À partir des mesures relevées lors d'observations de phénomènes semblables, des météorologues ont admis la règle suivante : \og la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de $10$\,\% toutes les $5$ minutes \fg .}

\emph{On appelle \og durée de vie \fg{} d'une tornade le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure à $120 \text{km}.\text{h}^{-1}$.}
\end{minipage}}

\medskip

Lors de la formation d'une tornade, on a mesuré la vitesse des vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de  $420~\text{km}.\text{h}^{-1}$.

\emph{L'objectif de ce problème est d'estimer la durée de vie de cette tornade.}

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10~\text{km}.\text{h}^{-1}$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de  $378~\text{km}.\text{h}^{-1}$.

Vérifier que ce résultat correspond à la règle admise.

À quelle catégorie appartient la tornade à ce moment là ?
\item Vérifier que, quinze minutes après la mesure initiale, cette tornade occasionne des dégâts classés comme \og dégâts considérables\fg.
\end{enumerate}
\item Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison $q$. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous.
\begin{center}
{\setlength{\fboxsep}{.5cm}
\fbox{\begin{minipage}{.5\linewidth}
\textbf{Variables}

\hspace{1em}$n$ : un nombre entier naturel

\hspace{1em}$v$ : un nombre réel

\hspace{1em}$q$ : un nombre réel

\textbf{Initialisation}

\hspace{1em}Affecter à $n$ la valeur 0

\hspace{1em}Affecter à $v$ la valeur 420

\hspace{1em}Affecter à $q$ la valeur 0,9

\textbf{Traitement}

\hspace{1em}Tant que \dotfill 

\hspace{2em}\dotfill

\hspace{2em}\dotfill

\hspace{1em}Fin Tant que

\textbf{Sortie}

\hspace{1em}Afficher $5 \times n$
\end{minipage}}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Justifier la valeur 0,9 dans la phrase \og Affecter à $q$ la valeur 0,9 \fg .
\item Donner le premier terme et la raison de la suite géométrique proposée par l'étudiant.
\item Dans l'algorithme ci-dessus, des pointillés indiquent des parties manquantes.

Recopier la partie relative au traitement et la compléter pour que l'étudiant puisse déterminer la durée de vie de cette tornade.
\item Expliquer l'instruction \og Afficher $5 \times n$ \fg{} proposée par l'étudiant.
\end{enumerate}
\item On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite géométrique proposée par l'étudiant.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la durée de vie de cette tornade au sens défini dans le document 2.
\end{enumerate}
\end{document}