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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL--SPCL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL--SPCL~\decofourright\\
Métropole 20 juin 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip

%Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée.
% 
%La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.
%
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités.
 
%Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{8}{c|}}\cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8} 
%$a$& $p(X \leqslant  a)$&~~&$a$& $p(X \leqslant  a)$&~~&$a$& 
%$p(X \leqslant  a)$\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}
%98 &\np{0,00000165}&~~&99,5 &\np{0,12245722}&~~&101 &\np{0,98997955}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
%98,5 &\np{0,00024299}&~~&100 &\np{0,50000000}&~~&101,5 &\np{0,99975701}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
%99 &\np{0,01002045}&~~&100,5 &\np{0,87754278}&~~&102 &\np{0,99999835}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%\emph{Les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près.\\ 
%Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité de l'évènement $\og X > 99 \fg$.
On a $P(X > 99)  = 1 - P(X \leqslant 99) \approx 1 - \np{0,01002045} \approx \np{0,98997955} \approx 0,99$ à $10^{- 2}$ près.		 
		\item %Déterminer la probabilité de l'évènement $\og 99 \leqslant X \leqslant 101 \fg$.
$P(99 \leqslant X \leqslant 101) = P(X \leqslant 101) - P(X \leqslant 99) \approx \np{0,98997955} - \np{0,01002045} \approx \np{0,9799591} \approx 0,98$ à $10^{- 2}$ près. 		 
		\item %Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre $99$ grammes et $101$ grammes. 
%Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
D'après la question précédente, la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme est d'environ 0,02.
	\end{enumerate} 
%Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pots conformes dans la production est 98\,\%. 
	\begin{enumerate}
		\item %L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille $n$ est 

%\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

%Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille $120$.
Avec $p = 0,98$ et $n = 120$, on obtient :

$I = \left[0,98 - 1,96 \sqrt{\frac{0,98 \times 0,12}{120}}~;~0,98 + 1,96 \sqrt{\frac{0,98 \times 0,12}{120}} \right]$.

soit environ $I = [0,955~;~1,005]$. (sic !)

En fait donc $I = [0,955~;~1]$. 
		\item %On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de $120$~pots de manière aléatoire. Au cours d'un de ces contrôles, un technicien compte $113$~pots conformes.
		 
%En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, prendra-t-on la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ?
Comme $\dfrac{113}{120} \approx 0,942 \notin I$, le technicien  doit prendre la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
%On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22~h. La température y est alors de 20~\degres C. 
%
%\emph{Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l'énergie dissipée à l'extérieur, au cours de la nuit, de 22~h à 7~h le lendemain matin.}
% 
%On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11~\degres C.
% 
%On désigne par $t$ le temps écoulé depuis 22~h, exprimé en heures, et par $f(t)$ la température de la pièce exprimée en \degres C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~9]
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Prévoir le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0~;~9].
La température extérieure est inférieure à celle de la pièce, la fonction $f$ est donc décroissante. 
%On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~9] par 

%\[f(t) = 9 \text{e}^{-0,12t} + 11.\]
 
\item %Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.
Sur l'intervalle  [0~;~9], la fonction $f$ est dérivable et :

$f'(x) = 9 \times (- 0,12) \text{e}^{-0,12t} = - 1,08 \text{e}^{-0,12t}$.

Pour tout réel $t,\: \text{e}^{-0,12t} > 0$, donc sur [0~;~9], $f'(t) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante (strictement).
\item %Calculer $f(9)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.
On a $f(9) =  9 \text{e}^{-0,12 \times 9} + 11 = 9 \text{e}^{-1,08} + 11 \approx 14,056 \approx 14,1~\degres$C.

La température de la pièce est d'environ $14,1~\degres$C à 7 heures du matin.
\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15~\degres C.
Il faut trouver $t$ tel que $f(t) < 15$.

On trouve $t > 6,757$, soit 4,757~h après 22 heures soit environ 4~h 47~min. 
\item %Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.
$f(t) < 15 $ si et seulement si $9 \text{e}^{-0,12t} + 11 < 15$ ou $9 \text{e}^{-0,12t} < 4$ ou $\text{e}^{-0,12t} < \dfrac{4}{9}$ ou en prenant le logarithme $-0,12t < \ln \left(\dfrac{4}{9}\right)$ et enfin $t > \dfrac{\ln \left(\dfrac{4}{9}\right)}{-0,12} \approx 6,75775$.

En retranchant les deux heures du jour précédent on obtient une heure égale à 4~h 46~min 30~s soit environ 4~h 47~min. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip

%Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction $g$ telle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~9], 

%\[g(t) = 0,7\text{e}^{-0,12t}.\] 
 
%L'énergie $\mathcal{E}$ ainsi dissipée entre 22~h et 7~h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale 

%\[\mathcal{E}  = \int_{0}^9 g(t)\:\text{d}t.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée.
Une primitive sur l'intervalle [0~;~9] de la fonction $g$ est la fonction $g$ définie sur cet intervalle par: $G(t) = \dfrac{0,7}{- 0,12}\text{e}^{-0,12t} = - \dfrac{35}{6}\text{e}^{-0,12t}$.

On a donc  $\mathcal{E}  = \displaystyle\int_{0}^9 g(t)\:\text{d}t = \left[G(t) \right]_{0}^9 = G(9) - G(0) = - \dfrac{35}{6}\text{e}^{-0,12\times 9} +  \dfrac{35}{6}\text{e}^{-0,12\times 0} = \dfrac{35}{6} - \dfrac{35}{6}\text{e}^{-1,08} =  \dfrac{35}{6}\left(1 - \text{e}^{-1,08}\right) \approx 3,852 \approx 3,9$~kWh à 0,1 près.
\item En déduire une valeur arrondie de $\mathcal{E}$ à $0,1$~kWh près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\medskip
% 
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}
%
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = \sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}$ est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $z = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 
%&\textbf{b.~~} $z = 2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{c.~~} $z = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{d.~~} $z = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
Le carré du module est égal à $6 + 2 = 8$ ; le module est donc égal à $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

L'argument $\theta$ est le nombre tel que :$\left\{\begin{array}{l c l}
\cos \theta &=&\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin \theta&=&\dfrac{- \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = - \dfrac{1}{2}
\end{array}\right.$

Donc $\theta = - \dfrac{\pi}{6}$. Une écriture exponentielle de $z = \sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}$ est : $2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
\item %Si $z_{1} = 3\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$, alors le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ vaut :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $3\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{7\pi}{12}}$&\textbf{b.~~} $3 \text{e}^{- 2\text{i}\pi}$&\textbf{c.~~} $3\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$&\textbf{d.~~} $ 
%3\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$\\
%\end{tabularx}
On calcule $\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}} = 3\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{4} +  \frac{5\pi}{6}\right)} = 3\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$.

\medskip
 
\item %On considère l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$, où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $f(x) = 4 \text{e}^{9x}$ 
%		\item $f(x) = - 0,2 \text{e}^{- 9x}$ 
%		\item $f(x) = 7 \cos (9x) - 0,2 \sin (9x)$ 
%		\item $f(x) = 0,7\sin (3x)$
%	\end{enumerate} 
Les solutions de l'équation différentielle sont toutes fonctions définies sur $\R$ par $x \longmapsto A\cos (3x) + B \sin (3x)$ avec $A, \: B \in \R$ quelconques.

Avec $A = 0$ et $B = 0,7$, on a bien une solution particulière définie par 

$x \longmapsto 0,7 \sin (3x)$.
\item %On considère l'équation différentielle $y' + 7y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation telle que $f(0) = 9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $f(x) = 9\text{e}^{7x}$&\textbf{b.~~} $f(x) = 9\text{e}^{- 7x}$&\textbf{c.~~} $f(x)= - 9\text{e}^{7x}$&\textbf{d.~~} \small $f(x) = - 9\text{e}^{- 7x}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
Les solutions de l'équation différentielle sont toutes fonctions définies sur $\R$ par $x \longmapsto C \text{e}^{- 7x}$ avec $C \in \R$ quelconque.

La solution vérifiant $f(0) = 9$ est telle que  $C \text{e}^{- 7 \times 0} = 9$ soit $C = 9$.

La fonction est donc définie par $x \longmapsto 9\text{e}^{- 7x}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

%Document 1
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline 
%\emph{La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.}\\ 
%\emph{En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $\np{1900}$~km ; sa puissance électrique initiale est de $\np{6400}$~MW ; le courant est transporté sous une tension de $800$~kV.}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3\,\% pour une distance de $100$~kilomètres.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
%On note $p_{0} = \np{6400}$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de $100$~km.
%
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$.
Retrancher 0,3\,\%, c'est multiplier par $1 - \dfrac{0,3}{100} = \dfrac{99,7}{100} = 0,997$.

Donc $p_{1} = 0,997 p_{0} = \np{6380,8}$~MW. 
\item %Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$~km ?
On a de m\^eme $p_{2} = 0,997p_{1} = 0,997^2p_{0} \approx \np{6361,66}$~MW. 
\item %Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
À chaque centaine de kilomètres on multiplie par $0,997$. La suite $\left(p_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme $p_{0} = \np{6400}$ et de raison $0,997$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
%On considère l'algorithme ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline 
%\textbf{Variables}\\ 
%\hspace{1.5cm}$n$ : un nombre entier naturel \\
%\hspace{1.5cm}$q$ : un nombre réel \\ 
%\hspace{1.5cm}$p$ : un nombre réel \\ 
%\textbf{Entrée} \\ 
%\hspace{1.5cm}Saisir $n$ \\ 
%\textbf{Initialisation} \\ 
%\hspace{1.5cm}Affecter à $p$ la valeur \np{6400} \\ 
%\hspace{1.5cm}Affecter à $q$ la valeur $0,997$ \\ 
%\textbf{Traitement} \\ 
%\hspace{1.5cm}Répéter $n$ fois \\ 
%\hspace{2.5cm}Affecter à $p$ la valeur $p \times q$ \\ 
%\textbf{Sortie}\\ 
%\hspace{1.5cm}Afficher $p$\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$.
 
%Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut).
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&$n$ &$q$ &$p$\\ \hline 
Entrées et initialisation&3 &0,997 &\np{6400}\\ \hline 
1\up{er} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\np{6380}\\ \hline  
2\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\np{6361}\\ \hline 
3\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\np{6342}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item %Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme.
$p_{3} = \np{6342}$ représente la puissance électrique restante après trois cents kilomètres. 
\item %Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$~km ?
La puissance restante au bout de $300$~km est égale à \np{6400} multiplié par $0,997^3 \approx 0,991$ soit une perte de $1 - 0,991
 = 0,009 \dfrac{9}{\np{1000}} = \dfrac{0,9}{100} = 0,9\,\%$. 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ?
La puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai est égale à $\np{6400} \times 0,997^{19} \approx \np{6044}$. 
\item %D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude.
 
%On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7\,\% sur ces lignes. 
	\begin{enumerate}
		\item %La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ?
La perte sur cette ligne est de $\np{6400} - \np{6044} = 356$ pour une puissance initiale de \np{6400}.

La perte est donc égale à $\dfrac{356}{6400} \approx 0,055 = \dfrac{5,5}{100} = 5,5\,\%$.

La ligne répond donc à cette contrainte.  
		\item %Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 \,\%.
Il faut trouver le nombre $n$ tel que $0,997^n \geqslant 1 - 0,07$, soit en prenant le logarithme $n \ln 0,997 \geqslant \ln 0,93$ ou   $n \leqslant \dfrac{\ln 0,93}{\ln 0,997}$.

La calculatrice donne $\dfrac{\ln 0,93}{\ln 0,997} \approx 24,15$.

Le plus grand naturel inférieur à ce nombre est 24.
La longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 \,\% est donc \np{2400}~km.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}