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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{16 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynésie 16 juin 2014~\decofourright\\[4pt]STI2D--STL spécialité SPCL}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie la réponse choisie}

\medskip
 
Dans les questions 1. et 2., on considère le complexe $z = - 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le complexe $z^3$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $8$&\textbf{b.~~} $ - 8$&\textbf{c.~~} $8\text{i}$&\textbf{d.~~} $- 8\text{i}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Un argument de $z$ est 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- \dfrac{2\pi}{3}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{2\pi}{3}$&\textbf{c.~~} $- \dfrac{\pi}{3}$ &\textbf{d.~~} $\dfrac{\pi}{3}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On considère l'équation différentielle $y' - 3y = 2$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels.
 
Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f(x) = 2\text{e}^{-3x}$ &\textbf{b.~~} $f(x) = \text{e}^{3x} + \dfrac{2}{3}$&\textbf{c.~~} $f(x) = \text{e}^{\frac{2}{3}x}$ 
&\textbf{d.~~} $f(x) = \text{e}^{3x} -  \dfrac{2}{3}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La solution $f$ de l'équation différentielle $y'' + 4\pi^2 y = 0$ qui vérifie $f(0) = - 1$ et $f'(0) = 0$ admet comme représentation graphique : 
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{0.4}{2.71828 x exp neg}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm,algebraic=true}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{2}{- cos(x*3.14159)}
\end{pspicture}\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\
\psset{unit=1cm,algebraic=true}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{2}{-cos(x*6.28318)}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm,algebraic=true}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{2}{sin(6.28318*x)}
\end{pspicture} 
\end{tabularx} 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

\og \emph{En 2009, les Français ont en moyenne produit $374$~kg de déchets ménagers par habitant.} \fg

Source Ademe

\medskip
 
Le maire d'une commune de \np{53700} habitants constata avec déception que ses administrés avaient produit \np{23000}~tonnes de déchets en 2009, Il décida alors de mettre en place une nouvelle campagne de sensibilisation au recyclage des papiers, plastiques, verres et métaux.
 
Cela permit à la ville d'atteindre $400$~kg de déchets ménagers en moyenne par habitant en 2011 et d'espérer réduire ensuite cette production de 1,5\,\% par an pendant 5 ans.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier la déception du maire en 2009. 
\item On note $d_{0} = 400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $d_{n}$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant de cette ville durant l'année $2011 + n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $d_{1} = 0, 985d_{0}$. 
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(d_{n}\right)$. Exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$ puis calculer la limite de la suite $\left(d_{n}\right)$. 
		\item Quelle devrait être, à ce rythme là, la production en kilogrammes de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2014 ?
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Les variables sont l'entier naturel $N$ et le réel $d$.}\\
Initialisation :	& Affecter à $N$ la valeur 0\\
 					&Affecter à $d$ la valeur 400\\ 
Traitement :		& Tant que $d > 374$\\ 
					&\hspace{0,5cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
					&\hspace{0,5cm} Affecter à $d$ la valeur $0,985d$\\
					&Fin Tant que\\
Sortie :			& Afficher $N$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Donner la valeur affichée pour $N$ et interpréter ce résultat. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip
 
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis à \boldmath $10^{-3}$\unboldmath{} près}

\medskip

 Une entreprise produit en grande quantité des emballages alimentaires de forme cubique en polypropylène.
 
\medskip
  
Elle utilise pour cela la technique du thermoformage, qui consiste à chauffer une plaque de plastique puis à la former à l'aide d'un moule. Lors du refroidissement, la pièce rétrécit légèrement mais conserve la forme du moule.
 
L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité d'une production de boîtes cubiques.

\medskip
 
\textbf{A. Loi normale}

\medskip
 
Une boîte est jugée conforme lorsque la mesure de son arête, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [16,7~;~17,3].
 
La mesure de l'arête d'une boîte est modélisée par une variable aléatoire $C$ qui suit la loi normale d'espérance $17$ et d'écart type $0,14$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(16, 7 \leqslant C \leqslant 17,3)$. 
\item Déterminer la probabilité qu'une boîte prélevée au hasard dans la production soit non conforme.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip
 
L'entreprise conditionne ces boîtes par lots de $200$. On prélève au hasard une boîte dans la production. 

On note $p$ la probabilité de l'évènement : \og la boîte prélevée au hasard dans la production est non conforme \fg.

\medskip
 
On prélève au hasard $200$ boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
 
 On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $200$~boîtes, associe le nombre de boîtes non conformes qu'il contient. On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $200$ et $p$, et, qu'en moyenne chaque lot de $200$~boîtes en contient 6 non conformes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $p = 0,03$. 
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux boîtes non conformes dans ce lot de $200$~boîtes.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Intervalle de fluctuation}

\medskip
 
On rappelle que, pour une proportion $p$ connue dans une production, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence calculée sur un échantillon de taille $n$ est : 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \right]\]

Dans le cadre d'un fonctionnement correct du thermoformage, on admet que la proportion $p$ de boîtes non conformes dans la production est 3\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille $200$. 
\item On contrôle le bon fonctionnement du thermoformage en prélevant au hasard dans la production des échantillons de $200$~boîtes. Au cours de l'un de ces contrôles, un technicien a compté $10$ boîtes non conformes.
 
Doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la thermoformeuse ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  7 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
 
\[f(x) = 6 \ln x + ax + b\] 

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, 

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.
 
Le point A(1~;~1) appartient à $\mathcal{C}_{f}$.
 
$\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé $\mathcal{C}_{f}$ (trait plein) ainsi que les courbes $\Gamma$ et $\Omega$.
 
L'une de ces deux courbes est la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ de $f$ et l'autre représente une primitive $F$ de $f$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-9)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-9)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.1215}{6}{x ln 6 mul 3 x mul sub 4 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.85}{6}{6 x div 3 sub}
\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{0.01}{6}{x ln x mul 6 mul x dup mul 1.5 mul sub 2 x mul sub 4.5 sub}
\uput[l](1,3){$\Gamma$}
\uput[ur](3,1.6){\cyan $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](2,-6.2){$\Omega$}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer laquelle des deux courbes est la représentation graphique de $F$. 
\item Par lecture graphique, déterminer $f(1)$ et $f'(2)$. 
\item Donner l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$. 
\item À l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, 

\[f(x) = 6\ln x - 3x + 4.\]

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Dans cette partie, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec la courbe $\mathcal{C}_{f}$ fournie dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $0$. Interpréter graphiquement cette limite. 
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, $f'(x) = \dfrac{3}{x}(2 - x).$ 
\item étudier le signe de $f'(x)$ puis donner les variations de la fonction $f$. 
\item En déduire que la fonction $f$ admet un extremum dont on calculera la valeur exacte. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip
 
Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par: 
 
\[H(x) = 6x\ln x  - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x.\]

 \begin{enumerate}
\item Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$. 
\item Calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}$. 
\item Donner une interprétation graphique du nombre $I$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, donner la valeur de $F(1)$. 
		\item En déduire une expression de $F(x)$ pour tout $x$ dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}