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%tapuscrit : Denis Vergès
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]
21 juin 2012}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 10 points}

\medskip
 
Les parties A et B sont indépendantes.
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\parbox{0.6\linewidth}{L'association \og Arts martiaux et Self-défense \fg{} d'une municipalité propose à ses adhérents plusieurs activités dont le judo et la self-défense.

\medskip
 
60\,\% des adhérents sont inscrits au cours de judo, 36\,\% au cours de self-défense et 5\,\% aux deux. 

On interroge un adhérent au hasard.
 
On note J l'évènement : \og l'adhérent interrogé pratique le judo \fg{} et S l'évènement: \og l'adhérent interrogé est inscrit au cours de self-défense \fg.
 
Pour tout évènement D, on note $\overline{\text{D}}$ l'évènement contraire de D.}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\begin{center}\renewcommand\arraystretch{1.8}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&J	&$\overline{\text{~J~}}$	&total\\ \hline
S						&	&						&36\,\%\\ \hline
$\overline{\text{~S~}}$	&	&						&\\ \hline
total					&	&						&100\,\% \\ \hline
\end{tabularx}\end{center}}
\renewcommand\arraystretch{1}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau des fréquences en pourcentages ci-dessus. 
\item Définir par une phrase les évènements suivants et calculer les probabilités de ces évènements : 
	\begin{enumerate}
		\item $\text{S} \cap \overline{\text{~J~}}$ ; 
		\item $\overline{\text{~S~}} \cap \text{J}$ ; 
		\item $\overline{\text{~S~}} \cap  \overline{\text{~J}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{Pour promouvoir leur association, ses dirigeants ont demandé qu'on leur réalise un logo.
 
Il est conçu à partir d'un cercle (C) contenu dans une ellipse (E).
 
Le nom de l'association s'inscrira dans la partie grisée limitée par le cercle et l'ellipse 
comme indiqué ci-contre.}
\hfill \parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(5,4)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.5,2)(2.5,2)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.5,2){1.5}
\pscurve*(2.15,2.7)(2.2,2.8)(2.7,3)(2.9,2.8)(2.7,2.6)(2.3,2.5)(2.15,2.7)
\pscurve*(1.4,2.4)(2,2.2)(2.1,2.18)(3,2.5)(3.45,3)(3.4,2.8)(3,2.3)(2.5,2.1)(2,2.05)(1.7,2.15)(1.4,2.4)
\pscurve*(2.1,0.9)(2,1)(1.9,1.3)(2,1.7)(2.3,1.8)(2.4,1.78)(2.4,1.95)(2.85,2)(2.87,1.8)(3,1.78)(3.4,1.7)(3,1.65)(2.85,1.62)(3,1.3)(3.3,1)(3,0.92)(2.8,1)(2.4,1.4)(2.3,1.6)(2.2,1.58)(2,1.3)(2.1,0.9)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\end{pspicture}}

\medskip

On a représenté en annexe (à joindre à la copie) l'ellipse (E) dans un repère orthonormé du plan d'origine O. 

\begin{enumerate}
\item Les sommets A, A$'$, B et B$'$ ont des coordonnées entières. 

Préciser les coordonnées de ces sommets. 
\item Déterminer une équation de (E) et calculer les coordonnées de ses foyers F et F$'$. 
\item Le cercle (C) a pour diamètre [FF$'$]. Tracer ce cercle et vérifier que l'aire du disque de diamètre [FF$'$] est égale à $9\pi$. 
\item Les dirigeants souhaitent que la partie du logo dans laquelle s'inscrira le nom de l'association occupe plus de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E). Est-ce bien le cas ? 
On admettra que l'aire de l'ellipse (E) est égale à $\pi \times  \text{OA} \times \text{OB}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 10 points}

\medskip

La courbe (C) représentée ci-dessous est celle d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

Les points E, F et H sont des points de la courbe (C) à coordonnées entières.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.25,-0.25)(1.5,1.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1.25,-0.25)(1.5,1.75)
\psplot{-1.25}{0.75}{x 1 add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}
\psdots(-1,0)(0,1)(1,0)
\uput[ur](1,0){H}\uput[dr](0,1){F}\uput[ul](-1,0){E}\uput[d](1.4,0){$x$}\uput[l](0,1.7){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, préciser $f(-1),{}f(0)$ et $f(1)$. 
\item Déterminer une équation de la droite (EF).
 
Marine pense que la droite (EF) est tangente à la courbe (C) au point F. Si Marine a raison, conjecturer alors la valeur de $f^{\prime}(0)$. 
\item Julien affirme que la tangente au point d'abscisse $0,4$ est parallèle à l'axe des abscisses. Si Julien a raison, que peut-on en déduire pour $f^{\prime}(0,4)$ ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction représentée dans la partie A est la fonction définie sur l'intervalle $[-1~;~1]$ par : 

\[f(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^x.\]

\begin{enumerate}
\item Comparer les valeurs de $f(-1), f(0)$ et $f(1)$ obtenues par le calcul avec celles obtenues par lecture graphique. 
\item On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1]$, $f^{\prime}(x) = \left(- x^2 - 2x + 1\right)\text{e}^x$. 
		\item En déduire la valeur exacte de $f^{\prime}(0)$ et de $f^{\prime}(0,4)$.
	\end{enumerate} 
\item La conjecture de Marine est-elle validée ? Et celle de Julien ? 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $- x^2 - 2x + 1$. 
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1]$, on pose $F(x) = \left(- 1 + 2x - x^2\right)\text{e}^x$. 

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$. 
\item Calculer l'aire exacte, en unité d'aire, de la surface comprise entre l'axe des abscisses, la courbe (C), les droites d'équations $x = -1$ et $x = 1$. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe à l'exercice 1 - À joindre à la copie}}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-5)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psellipse[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0)(5,4)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](5.8,0){$x$}\uput[ur](5,0){A}\uput[r](0,4.9){$y$}
\uput[ur](0,4){B}\uput[ul](-5,0){A$'$}\uput[dr](0,-4){B$'$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}