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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft ~Baccalauréat STI Métropole septembre 2003~\decofourright\\[5pt]Arts appliqués}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  8 points}

\medskip

Un sondage réalisé auprès de $600$ jeunes qui partent en vacances révèle que  parmi eux :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Un tiers part avec des amis,
\item[$\bullet~$] 70\,\% restent en France.
\item[$\bullet~$] Parmi ceux qui vont en vacances à l'étranger, $20\,\%$ partent  avec des amis.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}\linewidth{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&	Avec des amis	& Sans les amis& Total\\ \hline
En France 						& 								& 							& \\ \hline
à l'étranger 			&   36 					& 							& \\ \hline
Total 								& 								& 							& 	$600$ \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item On choisit un jeune au hasard parmi ces $600$ jeunes. On considère les 
évènements suivants :

$F$ : \og Le jeune choisi reste en France\fg{}

$A$ : \og Le jeune choisi part avec des amis \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase les évènements 
$\overline{F},\: F \cup A$.
		\item Calculer les probabilités des évènements suivants : 
		$\overline{F},\: F \cap  A,\: F \cup  A$. (On écrira les résultats sous forme de fraction irréductible).
	\end{enumerate}
\item On choisit un jeune parmi ceux qui partent sans les amis. Déterminer la probabilité pour que ce jeune aille à l'étranger.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I = $\left[\dfrac{3}{4}~;~ 
4\right]$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 
\dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}$.
\item Pour $x$ appartenant à I, résoudre l'inéquation : $1 - 2 \ln x > 0$.

En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f'(x)$ sur I.
\item Donner le tableau des variations de $f$ et donner une valeur 
approchée à $10^{-2}$ près du maximum.
\item Montrer, en utilisant le tableau des variations, que 
l'équation $f(x) = 0,1$ admet deux solutions dans I.

À l'aide d'une calculatrice, donner une valeur approchée, à $10^{-2}$ 
près, de chacune de ces solutions.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère  orthogonal \Oij{} (unités : $4$~cm sur l'axe des abscisses, $10$~cm sur l'axe des  ordonnées).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une petite entreprise fabrique et vend des boîtes de jeu.

Lorsqu'elle vend $x$ centaines de ces boîtes $\left(x \leqslant 
x \leqslant 4\right)$, le bénéfice net $B(x)$ réalisé s'exprime en 
milliers d'euros, par : $B(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$.

Déterminer :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre minimum de boîtes de jeu à vendre pour que ce soit  rentable.
\item Le nombre de boîtes de jeu à vendre pour que le bénéfice soit 
maximal. Quel est alors ce bénéfice ?
\item Le nombre de boîtes de jeu à vendre si l'entreprise veut gagner 
au moins $100$~euros (on utilisera une méthode graphique en faisant apparaître sur la  courbe les tracés utiles).
\end{enumerate}
\end{document}