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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués-- Métropole juin 2005~\decofourright}

\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill }

\medskip

Lors d'un concours de karaoké, le public, composé de $450$~jeunes, dont $150$~garçons, a voté pour l'un des trois finalistes, Hatxi, Élodie et Machyl.

Les voix sont réparties de la façon suivante :
 
$\bullet~$ 45 garçons ont voté pour Hatxi ;
 
$\bullet~ $35\,\% des filles ont voté pour Élodie.
 
$\bullet~$  Parmi les $165$~jeunes qui ont voté pour Machyl, il y a 20\,\% de garçons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Reproduire puis compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
 \multicolumn{1}{c|}{}	& Hatxi 	&Élodie & Machyl 	&	Total\\\hline
Garçons 				& 			& 		& 			& \\ \hline
Filles 					& 			& 		& 			& \\ \hline
Total  					& 			& 		& 			& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit au hasard un jeune du public. On suppose que tous les choix sont équiprobables et on considère les évènements suivants :

$A$ : \og le jeune choisi est un garçon \fg{} ;

$B$ : \og le jeune choisi a voté pour Machyl \fg.

Les résultats demandés seront donnés sous forme décimale arrondie au centième. 

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités $P(A)$ et $P(B)$. 
		\item Définir par une phrase les évènements suivants : $A ~\cap~B$ et $A~\cup~B$.  
		\item Calculer $P(A ~\cap~B)$, en déduire $P(A ~\cup~B)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill }

\medskip

Un club sportif confie l'élaboration d'un logo à une agence. Celle-ci choisit un \og drapeau \fg{} pour motif.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1~;~ 1]$  par

\[f(x) = x^3 - x + 2.\]

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 5~cm. On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ ; calculer $f'(x)$.
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $[-1~;~ 1]$ sachant que $f'(x) = 3\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 	et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.

On indiquera pour $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$  et  $f\left(- \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ des valeurs approchées décimales arrondies au centième.
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

(on donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&$-1$	&$-0,8$	&$-0,6$	&$-0,4$	&$-0,2$	&0	&0,2	&0,4	&0,6	&0,8	&1\\ \hline
$f(x)$ 	& 		& 		&2,38 	& 		& 		& 	& 		&1,66 	& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ sur la feuille de papier millimétré.
\item Calculer l'intégrale I$ = \displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\,\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-1~;~1]$ par 

\[g(x) = (x - 1)\text{e}^x + 2.\]

On appelle $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan muni du repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1],\: g'(x) = x\text{e}^x$  où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. 
\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur $[-1~;~1]$ et dresser le tableau de variations de $g$. 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-1$ & $- 0,8$&$-0,4$&0&0,4&0,6&0,8&1\\ \hline
$g(x)$ & & 1,19 & & & & 1,27& & \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer $\mathcal{C}_{g}$ dans le même repère \Oij{} que précédemment.
\item On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[-1~;~ 1]$ par 

\[G(x) = (x - 2)\text{e}^x + 2x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $[-1~;~ 1]$. 
		\item Calculer l'intégrale J $ =  \displaystyle\int_{-1}^1 g(x) \,\text{d}x$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La partie du plan $\mathcal{A}$ limitée par les courbes $\mathcal{C}_{f},~ \mathcal{C}_{g}$ et par la droite d'équation $x  = -1$ représente la toile du drapeau.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points P$(-1~;~2)$ et Q$(- 1~;~0)$ puis tracer le segment [PQ] pour achever le motif.
\item On suppose que, pour tout $x$ de l'intervalle $[-1~;~ 1],~ f(x) \geqslant  g(x)$ et que l'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan est donnée, en unités d'aires, par A = $\displaystyle\int_{-1}^1 [f(x) - g(x)] \,\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de A.
		\item En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire de $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document} 