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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole Arts appliqués ~\decofourright\\[5pt]juin 2002}}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Dans le repère orthonormal \Oij{} ci-dessous, on considère le rectangle RSTU de centre O et l'ellipse $\mathcal{E}$ inscrite dans ce rectangle. Le point R a pour coordonnées $(- 4~;~3)$.

\medskip

\textbf{Reproduire la figure ci-dessous sur une feuille de papier millimétré.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les sommets de cette ellipse qu'on notera A, A$'$, B et B$'$ et préciser leurs coordonnées. On placera A et A$'$ sur l'axe focal. Décrire la construction géométrique des foyers F et F$'$ et préciser leurs coordonnées.
\item Parmi les égalités suivantes, choisir celle que vérifie tout point $M$ de l'ellipse $\mathcal{E}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$M\text{F} - M\text{F}' = 8$ &   $M\text{F} + M\text{F}' = 6$ & $M\text{F} + M\text{F}' = 8$\\
\end{tabularx}
\item Parmi les égalités suivantes, choisir celle qui est une équation de l'ellipse $\mathcal{E}$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$9x^2 + 16y^2 = 144$ & $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{16} = 1$&$\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{t^2}{9} = 1$\\
\end{tabularx}
\item Déterminer l'ordonnée des points de $\mathcal{E}$ ayant pour abscisse $2$.
\item On veut dessiner un carré de centre O dont les sommets sont des points de l'ellipse $\mathcal{E}$ et dont les côtés sont parallèles à ceux du rectangle. Quelle est la longueur du côté de ce carré ?
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(6,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=1,subgriddiv=1](0,0)(-6,-5)(6,5)
\psellipse[linecolor=blue](0,0)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-6,-5)(6,5)
\psframe(-4,-3)(4,3)
\uput[ul](-4,3){R}\uput[ur](4,3){S}\uput[dr](4,-3){T}\uput[dl](-4,-3){U}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le repère \Oij{} dont l'unité graphique est $3$~cm, on a tracé la courbe $\mathcal{P}$ représentative d'une fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)  = ax^2+ bx + c$ où $a,~ b$ et $c$ sont des  nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
 Déterminer graphiquement $g(0),\: g(1),\: g'(1)$
		\item En déduire les valeurs de $a,\: b,\: c$
 	\end{enumerate}
\item Sachant que $g(x) = - x^2 + 2x + 1$, déterminer la primitive $G$ de la fonction $g$, définie sur $\R$ et vérifiant $G(0) = 0$.
\item Calculer l'intégrale I$ = \displaystyle\int_{0}^2 g(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}
		
\bigskip
		
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la  fonction $h$ définie sur [1,5 ; 4] par $h(x) = \dfrac{3 - x}{x - 1}$	et $\mathcal{H}$ la courbe représentative de $h$ dans le même  repère \Oij.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction $h'$, dérivée de la fonction $h$. étudier son signe et en déduire les variations de $h$ sur [1,5 ; 4].
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe it' au point B(2 ; 1). On admettra que (T) est aussi tangente à  $\mathcal{P}$ au même point B.
\item Sur une feuille de papier millimétré choisir un repère \Oij{} dont l'unité graphique  est $3$~cm et dont l'axe des abscisses est placé à mi-hauteur. On trace la  courbe $\mathcal{H}$ et la droite (T).
\item Soit $H$ la fonction définie sur [1,5 ; 4 ] par $H(x) =  2\ln(x - 1) - x$. Vérifier que $H$ est une primitive de la fonction $h$, puis calculer l'intégrale J$ = \displaystyle\int_{2}^3 h(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\medskip
		
\textbf{Partie C}

\medskip

On considère maintenant la fonction $f$ définie sur [0~;~3] et telle que : 
		
si $0 \leqslant  x \leqslant 2$ alors $f(x) = g(x)$,
		 
si $2 \leqslant x \leqslant  3$ alors $f(x) = h(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de la partie B, reproduire la courbe $\mathcal{P}$ de la partie A, puis tracer en rouge la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$.
		\item Construire sur le graphique la courbe $\mathcal{C}'$ symétrique de $\mathcal{C}$ par rapport à 1'axe des abscisses .
	 \end{enumerate}
\item Un publicitaire veut créer un logo dont le contour est formé par $\mathcal{C},\: \mathcal{C}'$ et l'axe des ordonnées. Prouver que l'aire de ce logo, en cm$^2$ est $\mathcal{A} = 18(\text{I} + \text{J})$. En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à $1$~mm$^2$ près.
\end{enumerate}
	 
\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe : exercice 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.9cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(4,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-2,-4)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx =5,Dy=5](0,0)(-2,-4)(4,3)
\uput[ul](0,1){A} \uput[ur](2,1){B} \uput[u](1,2){S}\uput[r](3.2,-2.5){\blue $\mathcal{P}$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.45}{3.45}{x 2 mul 1 add x 2 exp sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}