\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\usepackage{diagbox}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole juin 2004~\decofourright\\ }

\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}
 
\medskip
 
Sophie et Luc jouent très mal aux échecs, c'est pourquoi ils ont 
inventé le jeu suivant :

Sophie possède un sac contenant cinq pièces blanches : une reine, 
une tour, deux cavaliers et un pion.

Le sac de Luc contient cinq pièces noires : une reine, deux tours, 
et deux pions.

\textbf{Principe du jeu :}

Chacun tire une pièce de son sac, celui qui a la pièce la plus 
forte gagne la partie.

Une reine bat toutes les autres pièces.

Une tour bat un cavalier ou un pion.

Un cavalier bat un pion.

Deux pièces identiques font partie nulle.

Exemples :	

Sophie tire une reine et Luc une tour : Sophie gagne la partie.

Sophie et Luc tirent tous les deux un pion : il y a partie nulle.

\begin{enumerate} 
\item Dans le tableau ci-dessous, chaque case correspond à une issue  possible du jeu.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Sophie}{Luc} & R & T$_1$ &T$_2$ & P$_1$ & P$_2$\\ \hline
R 		& & & & & \\ \hline
T 		& & & & & \\ \hline
C$_1$	& & & & & \\ \hline
C$_2$ 	& & & & & \\ \hline
P 		& & & & & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Recopier ce tableau et compléter chaque case :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Par un S lorsque Sophie gagne.
\item  Par un L lorsque Luc gagne.
\item  Par un N lorsque la partie est nulle.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose les tirages équiprobables.

\item Calculer les probabilités des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item A : \og La partie est nulle \fg.
		\item B : \og Sophie gagne \fg.
		\item C : \og Luc gagne \fg.
	\end{enumerate}
\item Y a-t-il, du point de vue du contenu des sacs, un joueur avantagé 
par rapport à l'autre ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

Un musée souhaite orner ses publications d'un motif en filigrane.

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité 
graphique $5$~cm.

L'axe des ordonnées sera centré sur la feuille de papier millimétré.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par :
 
\[f(x) = 2\text{e}^x - 4x.\]

On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la 
fonction $f$ dans le  plan muni du repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$, 
calculer $f'(x)$ et étudier  son signe. Dresser le tableau de variations 
de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point  A d'abscisse $0$.
\item Tracer avec soin la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente T en A.
\item Calculer l'intégrale I$_f = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par :
 
\[g(x) = \ln(x + 1).\]

On appelle $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le  plan muni du repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. Dresser son tableau de  variations.
\item Tracer avec soin la courbe $\mathcal{C}_g$ dans le même repère \Oij{} que  précédemment.
\item Soit $G$ la fonction définie sur [0~;~1] par 

\[G(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - (x + 1).\]

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~1].
		\item Calculer l'intégrale I$_g =  \displaystyle\int_0^1 g(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : constitution du motif}

\medskip

On nomme P le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $1$ et Q le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $1$.

La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées transforme les 
courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, respectivement en courbes $\mathcal{C}'_f$ et $\mathcal{C}'_g$ (les points P et Q ayant pour images 
respectives P$'$ et Q$'$).

Tracer les courbes $\mathcal{C}'_f$  et $\mathcal{C}'_g$ ainsi que les segments [PQ]  et [P$'$Q$'$].

Le domaine limité par les courbes $\mathcal{C}_f,~\mathcal{C}'_f,~\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}'_g$ ainsi que par les segments [PQ] et [P$'$Q$'$] constitue le motif que cherche à reproduire le musée.

Expliquer comment on peut calculer l'aire de ce motif et calculer 
cette aire en cm$^2$ (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près).
\end{document}