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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole 23 juin 2008~\decofourright}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Chaque réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas pénalisée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  A et B sont deux évènements. La probabilité de l'évènement A est $0,4$. La probabilité de l'évènement B est $0,6$. La probabilité de l'évènement A~$\cap$~B est $0,2$. 

La probabilité de l'évènement A~$\cup$~B est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ 0,8&\textbf{b.}~~ 1&\textbf{c.}~~ $1,2$&\textbf{d.}~~ 0,2\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Une urne contient six boules : deux blanches notées B1, B2, trois jaunes notées J1, J2, J3, une verte notée V. On tire deux boules de l'urne simultanément. On pourra s'aider d'un tableau. La probabilité de l'évènement \og les deux boules tirées ont la même couleur \fg{ }est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ $\dfrac{2}{30}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{14}{36}$&\textbf{c.}~~ $\dfrac{8}{30}$&\textbf{d.}~~ $\dfrac{22}{30}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans un repère orthonormé, on considère la courbe (C) d'équation : $25x^2 - 36y^2 - 900 = 0$.

Cette courbe est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ une ellipse&\textbf{b.}~~un cercle&\textbf{c.}~~ une hyperbole&\textbf{d.}~~ une parabole\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans un repère orthonormé, l'ellipse (E) a pour équation : $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.

Un de ses foyers a pour coordonnées :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ $\left(2\sqrt{5}~;~0\right)$&\textbf{b.}~~$\left(0~;~2\sqrt{5}\right)$&\textbf{c.}~~$\left(0~;~2\sqrt{3}\right)$ &\textbf{d.}~~$\left(2\sqrt{3}~;~0\right)$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) =  x^3 +x$ et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

L'aire du domaine compris entre C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =  0$ et $x = 2$ est, en unités d'aire :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ 6&\textbf{b.}~~10&\textbf{c.}~~ 13&\textbf{d.}~~ $-6$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\left]\dfrac{1}{3}~;~+ \infty\right[$ par : $f(x) = \ln (3x - 1)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ $f'(x) = \dfrac{1}{3x - 1}$&\textbf{b.}~~$f'(x) = 3$&\textbf{c.}~~ $f'(x) = \dfrac{3}{3x - 1}$&\textbf{d.}~~ $f'(x) = \dfrac{1}{(3x - 1)^2}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Une primitive de la fonction $f$, définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= 2x + 1 + \dfrac{1}{x}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ $F(x)= 2 - \dfrac{1}{x^2}$&\textbf{b.}~~$F(x) = x^2 + x + \ln x$&\textbf{c.}~~ $F(x) = 2 + \ln x$&\textbf{d.}~~ $F(x) = 2$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La solution de l'équation :	$\dfrac{1}{2}\text{e}^x	= 5$	est :
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ $ 2 \ln 5$&\textbf{b.}~~$\ln 10$&\textbf{c.}~~ $10$&\textbf{d.}~~ $\text{e}^{10}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

Pour une entreprise de production d'énergies renouvelables, un graphiste conçoit un logo dont la construction apparaît dans le problème suivant.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur [0~;~2] par :

 \[f(x) = \text{e}^x + 1.\]
 
$\mathcal{C}$ désigne sa courbe représentative dans le repère orthonormé \Oij, d'unité graphique 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $f$ et étudier son signe sur l'intervalle [0~;~2].
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~2].
	 \end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5&1	&1,5&2\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\medskip

\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$. Le point O sera placé au centre de la feuille de papier millimétré.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par :

\[ g(x) = - x^2 + 2x\]

et $\mathcal{C}'$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la dérivée de la fonction $g$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur [0~;~2].
\item  Donner une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}'$ en son point d'abscisse $2$.
\item  Construire T et $\mathcal{C}'$ dans le repère \Oij.
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On appelle D le domaine compris entre $\mathcal{C},~ \mathcal{C}'$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.

On admet que $f(x) \geqslant  g(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0 ; 2] et que l'aire du domaine D, en unités d'aire, est donnée par la formule :  $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^2 [f(x) - g(x)]\: \text{d}x$.
  
Calculer la valeur exacte de cette aire en cm$^2$, puis la valeur arrondie à $10 ^{-1}$ près.
 
\medskip

\textbf{Partie D}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dessiner le domaine D$_{1}$, symétrique de D par rapport à O.

Colorier le domaine réunion de D$_{1}$ et D. 
\item Dessiner le domaine D$_{2}$, obtenu par rotation de centre O et d'angle 90\degres{} du domaine colorié précédemment.
\end{enumerate}
\end{document}