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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{19 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués 19 juin 2009~\decofourright\\[5pt]Métropole--La Réunion }

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. Recopier pour chaque question le numéro de question suivi de la proposition qui vous semble exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes.\\
Chaque bonne réponse rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point.}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x + 1}$ alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = 0$&\textbf{b.}$\quad \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = - \infty$&\textbf{c.}$\quad \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = + \infty$
\end{tabularx}

\medskip
  
\item Une autre écriture de $\text{e}^{- \ln (2)}$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad 2$&\textbf{b.}$\quad - 2$&\textbf{c.}$\quad \dfrac{1}{2}$
\end{tabularx}

\medskip

\item Sur l'ensemble $]1~;~+ \infty[$, l'équation $\ln(x - 1) = 1$ admet comme solution :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad 1$&\textbf{b.}$\quad 1 + \text{e}$&\textbf{c.}$\quad  \text{e} - 1$
\end{tabularx}

\medskip

\item  Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la conique $C$ d'équation
  
$4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$ ;  alors :

	\begin{enumerate}
		\item $C$ n'a pas de foyer ;
	\item $C$ a pour foyers les points F$_{1}\left(\sqrt{5}~ ;~0\right)$ et F$_{2}\left(- \sqrt{5}~ ;~0\right)$ ;
	\item $C$ a pour foyers les points F$_{1}\left(\sqrt{3}~ ;~0\right)$ et F$_{2}\left(- \sqrt{3}~ ;~0\right)$. 
	\end{enumerate}
\item  Soient $A$ et $B$  deux évènement associés à une expérience aléatoire. Pour tout  évènement  $X$, on note $p(X)$ sa probabilité.
 
On suppose que : $p(A) = 0,25,\: p(B) = 0,6$  \: \text{et}\: $p(A \cup B) = 0,7$,  alors $p(A \cap  B)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad 0,35$&\textbf{b.}$\quad 0,85$&\textbf{c.}$\quad 0,15 $
\end{tabularx}

\medskip 

\item Le plan est rapporté à un repère  orthonormal. On considère les points E$(0~;~- 1)$ et F$\left(3\sqrt{5}~;~1\right)$.
 
La distance EF est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad 3\sqrt{5}$&\textbf{b.}$\quad 7$&\textbf{c.}$\quad \sqrt{7}$
\end{tabularx}

\medskip 

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{2x} + 1$. Une primitive $F$ de la fonction $f$  est définie sur $\R$ par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}$\quad F(x) = \text{e}^{2x} + x$&\textbf{b.}$\quad F(x) = 2\text{e}^{2x}$&\textbf{c.}$\quad F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + x - 3$
\end{tabularx}

\medskip  

\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal ; on considère la conique $C_{1}$ d'équation 

$5x^2 - y^2 - 25 = 0$ et la droite $D_{1}$ d'équation $y = x$.
 
La conique $C_{1}$ et la droite $D_{1}$ : 
	\begin{enumerate}
		\item n'ont pas de point d'intersection 
	\item ont deux points d'intersection de coordonnées $\left(\dfrac{5}{2}~ ;~\dfrac{5}{2}\right)$ et $\left(-\dfrac{5}{2}~ ;~-\dfrac{5}{2}\right)$. 
	\item ont deux points d'intersection de coordonnées $\left(\sqrt{5}~;~0\right)$ et  $\left(-\sqrt{5}~;~0\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Le but de ce problème est de calculer la surface d'un pendentif en forme de tulipe.
 
Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.

On choisit pour unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. 
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I $  = [0~;~ 3]$ par : 

\[f(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{4}{3}x^2 -2x + 3.\]
 
La courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij{} est notée $\mathcal{C}_{f}$ et donnée en annexe.
 
Ce graphique sera complété au fur et à mesure du problème. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I. 
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale K$ = \displaystyle\int_{0}^3 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle  I $  = [0~;~3]$ par 

\[g(x)  = (3 - x)\text{e}^{x}.\]
 
On appelle $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle I, on, a $g'(x) = (2 - x)\text{e}^{x}$ où $g'$ désigne la fonction  dérivée de la fonction $g$.
\item  Étudier le signe de $g'$ et dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$ (arrondir les valeurs au dixième). 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5	&1		&1,5&2	&2,5&3\\ \hline
$g(x)$	&	&		&5,4	&6,7&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item Compléter le graphique de la feuille annexe en traçant la courbe $\mathcal{C}_{g}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x) = (4 - x)\text{e}^{x}$ est une primitive de la fonction $g$.
		\item Donner la valeur exacte de l'intégrale J$ = \displaystyle\int_{0}^3 g(x)\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer $P_{1}$ la portion de plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et$\mathcal{C}_{g}$. 

\item Construire les courbes $\Gamma_{f}$ et $\Gamma_{g}$ symétriques de $\mathcal{C}_{f}$ et$\mathcal{C}_{g}$ par rapport à l'axe des abscisses. 
\item Hachurer $P_{2}$ la portion de plan comprise entre  $\Gamma_{f}$ et $\Gamma_{g}$. 
\item En utilisant les résultats de la question A. 2. et de la question B. 4. b., exprimer en unités d'aire l'aire du motif représenté par les portions de plan $P_{1}$ et $P_{2}$.
 
En déduire une valeur exacte de l'aire en cm$^2$ puis la valeur arrondie au cm$^2$. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=3.2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(3.25,8.5)
\multido{\n=-.500+0.125}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-8)(\n,8.5)}
\multido{\n=-8+0.5}{34}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.5,\n)(3.25,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-8)(3.25,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](3.25,0){$x$}\uput[l](0,8.5){$y$}\uput[dl](0,0){O} \uput[u](2.5,1.2){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{4 3 div x dup mul mul 2 x mul sub 3 add x 3 exp 3 div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}