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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}

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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[5pt]
septembre 2006}

\vspace{0,5cm}

Coefficient : 2 \hfill Durée : 2 heures

\bigskip

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet. 

\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité $1$~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation 

\[9x^2 + 25y^2 = 225.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que les points $M$ dont les coordonnées vérifient cette équation, sont solutions de l'équation : $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Quelle est la nature de la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item Calculer les coordonnées des sommets A, A$'$, B et B$'$.
\item Calculer les coordonnées des foyers F et F$'$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur un  graphique les points A, A$'$, B, B$'$, F et F$'$.
		\item Montrer que $\mathcal{C}$ est la réunion de deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ d'équations respectives 
\[y = 3\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{25}}\quad \text{et}\qquad (1)  \quad y = - 3\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{25}}.\]
		\item En utilisant l'équation (1) de la courbe $\mathcal{C}_{1}$, compléter le tableau de valeurs, arrondies au dixième, ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
$y$	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{1}$ sur l'intervalle [0 ; 5] ; puis en utilisant les éléments de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$, tracer $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Soit D le point de coordonnées $(-3~;~- 2,4)$. Déterminer FD, F$'$D et FD + F$'$D.

Que peut-on en conclure ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{2x^2 + 4x - 1}{(x + 1)^2}.\]

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité : $2$~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = 2 - \dfrac{3}{(x + 1)^2}$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -1 \atop x > -1} f(x)$. En déduire l'existence d'une asymptote dont on déterminera une équation.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x)$. En déduire l'existence d'une asymptote dont on déterminera une équation.
\item Vérifier que la dérivée de $f$ est définie par $f'(x) = \dfrac{6}{(x+1)^3}$.

Trouver le signe de $f'(x)$ sur $]- 1~;~+ \infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.
\item Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des ordonnées puis du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau de valeurs, arrondies au dixième, suivant :
		
\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&$-0,5$	&$0$	&$1$	&$2$	&$3$	&$5$\\ \hline
$f(x)$ 	&		&		&		&		&		&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Construire sur un même graphique les asymptotes,  T,  puis $\mathcal{C}_{f}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par $F(x) = 2x + \dfrac{3}{x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]- 1~;~+ \infty[$.
		\item On considère la partie $\mathcal{A}$ du plan comprise entre les droites d'équation $x = 1,~x = 5$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et l'axe des abscisses.
		
Déterminer l'aire de $\mathcal{A}$ en unités d'aire et ensuite en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}