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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[4pt]
septembre 2010}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples. Pour chaque question, une seule des affirmations proposées est exacte. On indiquera pour chaque question la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = - 2x^2 + 5x - 3$ et $P$ la parabole représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.} Si $f(x) = 0$, alors $x = 1,5$ ;& \textbf{b.} $P$ a pour sommet le point S de coordonnées $\left(\dfrac{5}{4}~;~\dfrac{5}{40}\right)$\\ 
\textbf{c.} Pour tout $x$ réel, $f(x) = (x - 1)(2x - 3)$ ;& 	\textbf{d.} $f(- 1) = 6$.\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $f(x) =  \dfrac{2x - 3}{3x + 1}$ et $f'$ la dérivée de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

Alors, pour tout réel $x$ positif ou nul :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.} \small $f'(x) = -\dfrac{7}{(3x + 1)^2}$ ;&\textbf{b.}\small $f'(x) =  \dfrac{11}{(3x + 1)^2}$ ; & \textbf{c.} $f'(x) = \dfrac{2}{3}$ ; & 
\textbf{d.} $f'(x) = \dfrac{11}{3x + 1}$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Une solution de l'équation $\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - 2 = 0$ est: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.} $- 1$ ;&\textbf{b.} $0$ ; &\textbf{c.} $\text{e}^2 $ ; &\textbf{d.} $ \ln (2)$\\
\end{tabularx}

\medskip  
 
\item  
Pour tout $x$ réel,~ $\dfrac{\text{e}^{x+1}}{\text{e}^{-1 +x}}$ est égal  à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.} $1$ ; & \textbf{b.} $\text{e}^2 $ ; &\textbf{c.} $\text{e}^{x+1} \times \text{e}^{-(x + 1)}$ ; &\textbf{d.} $\text{e}^{2x}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Soit F et F$'$ deux points distincts du plan. Alors l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\left|M\text{F} - M\text{F}' \right| = 8$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.} l'ensemble vide ;& 
\textbf{b.} une hyperbole ; & 
\textbf{c.} une ellipse ; & 
\textbf{d.} un cercle.\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse E d'équation cartésienne $x^2  + 2y^2 = 16$. On appelle F et F$'$ les deux foyers de E. Alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
\textbf{a.} un de ses sommets a pour coordonnées $(0~;~4)$ ; &	\textbf{b.} FF$' = 8$ ; \\ 
\textbf{c.} un des foyers a pour coordonnées $\left(0~;~2\sqrt{2}\right)$ ; &\textbf{d.} Pour tout point $M$ de E : $M$F + $M$F$' = 8$.
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Dans une classe de 40 élèves, on sait que 10 élèves écoutent uniquement du rap, que 17 élèves écoutent uniquement de la techno et que 4 élèves écoutent à la fois du rap et de la techno. On interroge un élève au hasard. La probabilité qu'il n'écoute ni rap ni techno est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.} $\dfrac{13}{40}$ ;&\textbf{b.}  $\dfrac{9}{40}$ ;&\textbf{c.} $\dfrac{14}{40}$ ;& $\dfrac{1}{10}$.\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Une urne contient trois boules bleues et deux boules vertes.
 
On tire au hasard une boule que l'on remet dans l'urne après avoir noté sa couleur, puis on tire une deuxième boule au hasard. La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
\textbf{a.}$\dfrac{12}{5}$ ;&\textbf{b.}  $\dfrac{12}{25}$ ;&\textbf{c.} $\dfrac{6}{25}$ ;& $\dfrac{1}{5}$.\\
\end{tabularx}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
La courbe $(\mathcal{C})$ donnée en annexe est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~3] dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O.
 
On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~3].
 
La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points A, B et D d'abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A$'$, B$'$ et D$'$ ont des coordonnées entières.
 
La droite (BE), parallèle à l'axe des abscisses, est tangente en B à la courbe $(\mathcal{C})$. La droite (AB') est tangente en A à la courbe $(\mathcal{C})$. 
On répondra aux questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront donnés en valeurs approchées à 0,1 près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(1),~f(2)$ et $f(3)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB').
		\item Déterminer $f'(1)$ et $f'(2)$.
	\end{enumerate} 
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ et préciser le signe de sa dérivée $f'$. 
\item Calculer l'aire du triangle AA$'$B$'$ en unités d'aires.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
La fonction représentée dans la première partie est définie sur l'intervalle [1~;~3] par : 

\[f(x) = x- 2\ln (x).\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(3) =  \ln \left(\dfrac{\text{e}^3}{9}\right)$.
\item  Soit $F$ la fonction définie sur [1~;~3] par :

\[ F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x - 2x \ln x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~3]. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$ et en donner une interprétation 
graphique.
	\end{enumerate} 
\item Soit $(\mathcal{P})$ la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, la droite (AB$'$) et la droite (DD$'$). 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer $(\mathcal{P})$. 
		\item Le domaine $(\mathcal{P})$ représente la maquette du logo d'une société. Une unité sur le graphique représente 10~cm en réalité.
		 
Calculer l'aire en cm$^2$ de ce logo en grandeur réelle, arrondie au cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}


\vspace{0.5cm}

\psset{unit=4.25cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3.2,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=5,subgriddots=5,gridwidth=1.5pt,subgridwidth=1.5pt](0,0)(3.2,2.4)
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\uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[r](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[d](3.2,0){$x$} \uput[l](0,2.4){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x x ln 2 mul sub}
\psline(-0.2,2.2)(2.2,-0.2)
\rput(1.5,2.8){\textbf{\large Annexe au problème}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}