\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-3dplot,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie septembre 2003~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil }}

\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}
 
\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.

À tout point $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ , distinct de O, on associe le point $M'$ d'affixe $z'= \dfrac{1}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z$. On pose dans la suite de l'exercice $z'= x'+ \text{i}y'$ où $x'$ et $y'$ sont deux réels.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$. 
\item On appelle A, B, C, D, les points d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = \text{i}, \quad  z_{\text{B}} = -\dfrac{1}{2} + 
\dfrac{1}{2}\text{i}, \quad z_{\text{C}} = - 1, \quad z_{\text{D}} = - 
2 - \text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_{\text{B}'} = \dfrac{1}{\overline{z_{\text{B}}}}$ et $z_{\text{D}'} = \dfrac{1}{\overline{z_{\text{D}}}}$.
		\item Montrer que les points O, B et B$'$ sont alignés ainsi que les points O, D et D$'$.
		\item Calculer $\left|z_{\text{A}} - 
z_{\text{B}}\right|,~\left|z_{\text{B}'} - 
z_{\text{B}}\right|,~\left|z_{\text{D}'} - z_{\text{B}}\right|$ et en déduire que les quatre points A, B$'$, C, D$'$ sont sur un même cercle 
$\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\item Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv, tracer le cercle
 $\mathcal{C}$.
\item Utiliser les questions précédentes pour construire géométriquement les points B$'$ et D$'$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient dix jetons indiscernables au toucher. Sur 
chacun de ces jetons est inscrit l'un des numéros 1, 2, 3 ou 4.

Un jeton porte le numéro 1, deux jetons le numéro 2, trois 
jetons le numéro 3 et 4 jetons le numéro 4.

Un jeu consiste à tirer au hasard et avec remise, deux jetons
 de cette urne ; les tirages sont supposés équiprobables. À l'issue de la partie, le joueur reçoit le nombre d'euros correspondant à la somme des numéros inscrits sur les deux jetons tirés.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à l'issue de chaque partie, associe le nombre d'euros reçus par le joueur.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer $p(X = 2)$, probabilité que la somme remise au joueur soit $2$~\euro.
		\item Montrer que $p(X = 6) = \dfrac{25}{100}$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. On présentera les résultats dans un tableau.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Le joueur doit verser une \og mise \fg{} $m$ exprimée en euros, avant chaque partie.

Quelle doit être la valeur minimale de cette mise, arrondie à l'euro, pour que l'organisateur du jeu ait l'espoir d'être bénéficiaire ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\bigskip

\textbf{I. Première partie :  étude d'une fonction \boldmath$g$\unboldmath}

\medskip

On appelle $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$   par 

\[g(x) = x^2 + 2- 2\ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. (L'étude des  limites aux bornes de l'intervalle n'est pas demandée).
\item Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle
 $]0~;~+ \infty[$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie :  étude d'une fonction \boldmath$f$\unboldmath}

\medskip

On appelle $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{2} + 2 + \dfrac{\ln x}{x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item On appelle (D) la droite d'équation $y = \dfrac{x}{2} + 2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la droite (D) est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier les positions respectives de la droite (D) et de la courbe $\mathcal{C}$. 
	\end{enumerate}
\item Le sens de variation de $f$
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$ et en déduire le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item On appelle ($\Delta$) la tangente à $\mathcal{C}$ en son point A 
d'abscisse 1.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de ($\Delta$).
		\item Déterminer les coordonnées du point B de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente ($T$) est parallèle à (D). 
	\end{enumerate} 
\item Construire avec soin les droites (D), ($\Delta$), ($T$) puis la courbe
$\mathcal{C}$ dans le repère \Oij, unité graphique $2$~cm.
\item Calcul d'aire.
	\begin{enumerate} 
		\item On appelle $k$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $k(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.

Déterminer une primitive $K$ de $k$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Soit $t$ un nombre réel strictement supérieur à $1$. Calculer en cm$^2$ l'aire $\mathcal{A}(t)$ du domaine plan limité par la courbe  $\mathcal{C}$ la droite (D) et les deux droites d'équations $x = 1$ et $x= t$.
		\item Déterminer $t$ pour que $\mathcal{A}(t) = 100$~cm$^2$.   
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}