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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~
\overrightarrow{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique}
\lfoot{\small Antilles}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Antilles juin 2002~\decofourright\\[5pt] Génie civil, énergétique, mécanique }
\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Soit i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est 
$\dfrac{\pi}{2}$

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation en $z$

\[z^2 + 25 = 0.\]

		\item Déterminer le module et un argument de chacune des solutions.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes,  l'équation en $z$

\[z^2 - 2z + 5 = 0.\]

		\item Calculer, sous forme algébrique, le carré de chacune des solutions de cette équation.
	\end{enumerate}
\item Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - 3 - 4\text{i} \quad 	z_{\text{B}}= - 3 + 4\text{i} 
\quad   z_{\text{C}} = 5\text{i} \quad 	z_{\text{D}} = - 5\text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A, B, C et D dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.
		\item Démontrer que le triangle BCD est rectangle.
		\item Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 4 points}

\medskip

\textsl{Deux tableaux sont donnés. Ils sont à compléter et à rendre avec la  copie.}

Une machine fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires qui peuvent présenter trois sortes de défauts un défaut d'épaisseur, un défaut de longueur, un défaut de largeur.

Dans un lot de \np{1000} pièces, fabriquées par cette machine,  $90\,\%$ des pièces n'ont aucun défaut, $0,2\,\%$ ont les trois défauts et $26$ pièces ont
 comme seul défaut un défaut d'épaisseur.

Parmi les $950$ pièces n'ayant pas de défaut d'épaisseur, il y a $29$ pièces qui ont
un défaut de longueur et $10$ pièces qui ont un défaut de longueur et un défaut de largeur.

Parmi les pièces ayant un défaut d'épaisseur, $24\,\%$ ont un défaut de longueur.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Compléter les deux tableaux suivants.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{1-3}
\multicolumn{3}{|c|}{Pièces n'ayant pas de défaut d'épaisseur} & \multicolumn{1}{c}{}\\ \hline
\diagbox{~\\Largeur}{Longueur}&Pièces ayant un défaut 
de longueur &Pièces n'ayant pas de défaut de longueur&\\ \hline
Pièces ayant un défaut de largeur & 10 & & \\ \hline
Pièces n'ayant pas de défaut de largeur & &  & \\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{~} & 29 & & 950\\ \cline{2-4}
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}
\hspace*{-1.5cm}   \begin{tabular}{|l|c|c|c|}\cline{1-3}
\multicolumn{3}{|c|}{Pièces ayant un défaut d'épaisseur} & 
\multicolumn{1}{c}{}\\ \cline{1-3}
\diagbox{Largeur}{Longueur}&\multicolumn{1}{|p{3cm}|}{Pièces ayant un défaut 
de longueur} & \multicolumn{1}{|p{3cm}|}{Pièces n'ayant pas de défaut de 
longueur}\\ \hline
Pièces ayant un & & & \\
défaut de largeur &  & & \\ \hline
Pièces n'ayant pas & &   & \\ 
de défaut de largeur & & 26  & \\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{} &  & & \\ \cline{2-4}
\end{tabular}
		\item On choisit au hasard une pièce dans ce lot de $1\:000$ pièces et on suppose tous les tirages équiprobables.

On définit les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item  $A$ : \og la pièce possède un seul défaut \fg{} ;
\item  $B$ : \og la pièce possède deux défauts et deux seulement \fg.
\end{itemize}

Montrer que : $p(A) = 0,066$ et $p(B) = 0,032$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à toute pièce tirée au hasard dans ce lot de \np{1000} pièces, associe le nombre de défauts de cette pièce.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. On donnera les résultats sous forme de tableau.
		\item Calculer la valeur exacte de l'espérance mathématique E($X$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

Soit la fonction numérique $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{3 \ln x}{2x ^2} + x - 1.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} l'unité de longueur est $2$~cm.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit la fonction numérique $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = 2x^3 - 6 \ln x + 3.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $x^3 - 1$ suivant les valeurs  de $x$, élément de $]0~;~+ \infty[$.

On pourra utiliser le fait que

\[x^3 - 1 = (x - 1)\left(x^2 + x + 1\right), ~\text{pour tout réel}~ x.\]

\item Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ et étudier son signe pour tout $x$ élément de $]0~;~+ \infty[$. Donner les variations de la fonction $g$.
\item En déduire que, pour tout $x$  élément de $]0~;~ + \infty[,~ g(x)$ est strictement positif
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - étude de la fonction} \boldmath $f$ 
\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $\dfrac{\ln x}{x^2}$ quand $x$ tend  vers $0$, en justifiant la réponse.

Donner une interprétation graphique de ce résultat.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Préciser la limite de $f(x)$ quand $x$ tend  vers $+ \infty$.
		\item En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et montrer que la  droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la  droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ et montrer que :

\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^3}, \quad \text{pour tout} \: x\: \text{élément de} \: ]0~;~+ \infty[.\]

En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit K le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse 1. 
Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point K.
		\item Tracer avec soin la droite $\mathcal{D}$, la droite 
$\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C -- Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit la fonction numérique $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[h(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}.\]

Soit $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$. Calculer 
$h'(x)$.
\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\item On considère la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, 
l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$.
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer cette partie du plan, puis calculer la valeur exacte   de son aire en cm$^2$.
		\item Donner la valeur arrondie au mm$^2$ de cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}