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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\rhead{\small Baccalauréat STI novembre 2003}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil novembre 2003}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un  repère orthonormal \Ouv.

On note i nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Pour tout nombre complexe $z$ on pose $P(z) = z^3 -  2z- 4$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que pour tout nombre complexe $z$, on a 
$P(z) =  (z - 2)\left(z^2 + 2z + 2\right)$.
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, 
l'équation $P(z) = 0$.
\item On appelle A, B, C et D les points de $\mathcal{P}$ 
d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - 1 - \text{i}~;~z_{\text{B}} = 2 ~;~z_{\text{C}} = 3 + 
3\text{i}~;~z_{\text{D}} = 2\text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A, B C et D dans le repère \Ouv, unité graphique $2$~cm.
		\item Calculer $z_{\text{B}} - z_{\text{A}},~z_{\text{C}} - 
z_{\text{D}},~z_{\text{D}} - z_{\text{A}}$.
		\item Justifier alors que $\vect{\text{AB}}	= 
\vect{\text{CD}}$	et que AD =  AB.
		\item En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère les intégrales I et J définies par I = $\displaystyle\int_0^{\pi} 
x (\cos x)^2\: \text{d}x$ et J =  $\displaystyle\int_0^{\pi} 
x (\sin x)^2\: \text{d}x$.

Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs exactes de ces intégrales sans les calculer.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la valeur exacte de I $+$ J.
\item On se propose dans cette question de rechercher de la 
valeur exacte de I $-$ J.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que I $-$ J = $\displaystyle\int_0^{\pi} x \cos(2x)\:\text{d}x$.
		\item On appelle $f$ la fonction numérique définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}	x \sin (2x) + \dfrac{1}{4} \cos(2x).\]

Démontrer que pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = x \cos(2x)$.
		\item En déduire la valeur exacte de I $-$ J.
	\end{enumerate}
\item À l'aide des questions précédentes, déterminer les valeurs
 exactes des intégrales I et  J. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{I) Première partie : étude d'une fonction $g$}

\medskip

On appelle $g$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par : 

\[g(x) = (x + 1)\text{e}^x + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$. (On 
pourra écrire $g(x)$ sous la forme 

$g(x) = x\text{e}^x+ \text{e}^x+ 1)$.
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
\item Étude du signe de $g(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ et étudier son signe sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
		\item En déduire le sens de variation de $g$  et dresser son tableau de variations dans lequel on précisera la  valeur exacte de l'extremum de $g$.
		\item Justifier que pour tout $x,\: g(x) >  0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II) Deuxième partie : étude et représentation graphique d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x +x -  3$.
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal  \Oij{} du  plan, unité graphique : $1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ puis en $- \infty$.
\item On appelle (D) la droite d'équation $y = x-3$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la droite (D) est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite (D). On précisera les coordonnées de leur point d'intersection I. 
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = g(x)$.
		\item À l'aide des résultats obtenus dans la première partie, déterminer le sens de variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe
 $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 0.
\item Tracer la droite (D), la tangente (T) puis la courbe 
dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III) Troisième partie :} le but de cette partie est de déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) =  0$ et de donner un encadrement de celles-ci.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et en justifiant la
 réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)= 0$.
\item Localisation et encadrement d'une solution.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f(0)$ et $f(1)$.
		\item Justifier les trois affirmations suivantes :

(1)   L'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $]- 
 \infty~;~0]$.

(2) L'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $[1~ ;~+ 
 \infty[$.

(3) L'équation $f(x) = 0$ a une solution unique notée $\alpha$ dans l'intervalle  [0~;~1].
		\item En expliquant brièvement la méthode utilisée, donner un 
encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}