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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\overrightarrow{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique}
\lfoot{\small La Réunion}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\begin{center}{\decofourleft~\Large \textbf{Baccalauréat STI La Réunion  juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie énergétique, civil, mécanique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{}, d'unité graphique $2$~cm. On note i le sombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $P(z) = z^3 - \left(1 +  2\sqrt{3}\right)z^2 + \left(12+2\sqrt{3}\right)z  - 12$ où $z$ est un nombre complexe.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $P(1) = 0$.
		\item Déterminer le réel $b$ tel que $P(z) = (z - 1)\left(z^2 + bz + 12\right)$.
		\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes $\C$, l'équation  d'inconnue $z$

	\[z^2 - 2z\sqrt{3} + 12 = 0.\]
	
		\item  Déduire des questions précédentes la résolution dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
\end{enumerate}
\item Dans le plan complexe, soit A, B, C et D les points d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = \sqrt{3} +  3\text{i},~ z_{\text{B}} = 1,~ z_{\text{C}} = 4 + \left(1 - \sqrt{3}\right)\text{i} \quad \text{et}\quad z_{\text{D}} = \left(3 + \sqrt{3}\right) + \left(4 - \sqrt{3}\right)\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer ces quatre points dans le repère \Ouv.
		\item Calculer les affixes des milieux des segments [AC] et [BD].En déduire que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
		\item Démontrer que ABCD est un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) : $9y'' + y = 0$ où $y$  est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E).
\item Déterminer la solution particulière $f$ qui vérifie les conditions $f(0) = 1$ et 

$f'(0) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
\item Montrer que pour tout réel $x,~f(x)$ peut s'écrire sous la forme :

\[f(x) = 2 \cos\left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right).\]

\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pi].$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

On définit sur $\R$ deux fonctions $f$ et $g$ par 

\[ f(x) = 2x^2 + \text{e}^{-2x}\: \text{et}\; g(x) = 2x^2 - \text{e}^{-2x} \]

Ces fonctions sont représentées par les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$	 dans un repère orthogonal \Ouv{} sur le graphique suivant :

\psset{xunit=4cm}\begin{pspicture}(-0.8,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=5](0,0)(-0.8,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](2,0){$x$} \uput[r](0,5){$y$} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[r](0,1){1}
\uput[d](-0.2,2.5){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](-0.2,-0.9){\cyan $\Gamma$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.7}{1.55}{x dup mul 2 mul 2.71828 2 x mul neg  exp add} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-0.3}{1.55}{x dup mul 2 mul 2.71828 2 x mul neg  exp sub} 
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$ et $g(0)$.
		\item Associer alors à chaque fonction sa courbe représentative.
	\end{enumerate} 
\item  Justifier par le calcul que la courbe $\mathcal{C}$ est située au-dessus de la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :} étude de la fonction $f$ à l'aide d'une fonction auxiliaire $h$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  Soit la fonction auxiliaire $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = 2x - \text{e}^{-2x}$.

Montrer que $h$ est strictement croissante sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~1]$ et justifier que cette équation n'a pas d'autre solution dans $\R$.
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,1 près.
		\item Déterminer le signe de $h(x)$ sur les intervalles $]- \infty~;~\alpha[$ et $]\alpha~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x,~ f'(x) =  2h(x)$.
		\item Déduire des questions 3. c. et 4. a. le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. Calculer une valeur approchée de $f(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\bigskip
 
\textbf{Partie C :}  comportement des courbes $\mathcal{C}$ et  $\Gamma$ pour $x$ assez grand

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x) - g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) -g(x) \leqslant \dfrac{1}{10}$.  Donner une interprétation graphique du résultat.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $\lambda$ réel	strictement positif soit
$I(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} \left[f(x) - g(x)\right]\,\text{d}x$.

Montrer que $I(\lambda) = 1  - \text{e}^{-2\lambda}$.
		\item Calculer la limite de $I(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 