\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil La Réunion juin 2004 ~\decofourright}}

\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique 1~cm. 

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Soit $P(z) =  z^3 - 8z - 32$, où $z$ est un nombre complexe. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(4)$. 
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 + 4z + 8 = 0$. 
		\item Déterminer les réels, $a,~b,~c$ tels que : $P(z) = (z - 4)\left(az^2 + bz + c\right)$. 
		\item Déduire des questions précédentes la résolution de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item 	Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C d'affixes respectives :
 
\[z_{\text{A}} = 4 \quad ;\quad z_{\text{B}} -2 + 2\text{i} \quad; \quad z_{\text{B}} =  -2 - 2\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure, sur la copie, représentant les points A, B, C dans le repère. 
		\item  Déterminer le module et un argument des nombres complexe $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. 
		\item  Déterminer, en justifiant, la nature du triangle OBC. 
	\end{enumerate}
\item Soit $\Omega$ le point d'affixe $z_{\Omega} = \dfrac{2}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}} - z_{\Omega},\: z_{\text{B}} - z_{\Omega},\: z_{\text{C}} - z_{\Omega}$. 
		\item  Que représente $\Omega$ pour le triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
 
Dam un atelier de réparation un technicien s'occupe des ordinateurs \textbf{en panne} qui lui arrivent. Les composants à l'origine de la panne peuvent uniquement être : l'alimentation, la carte graphique ou le processeur.
 
Une panne simultanée de deux ou trois composants est possible.
 
Le technicien chargé de la détection des pannes établit le diagnostic d'un ordinateur à l'aide d'un triplet utilisant les initiales des composants, surmontées d'une barre en cas de panne.
 
Par exemple, $\left(\text{A}~;~\text{CG}~;~\overline{\text{P}}\right)$ signifie que l'alimentation et la carte graphique fonctionnent et que la panne provient du processeur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la liste des sept diagnostics possibles sur un ordinateur en panne. 
\item On suppose que les sept diagnostics ont la même probabilité d'être établis. Quelle est la probabilité pour qu'un seul des composants soit en panne ? 
\item Le tableau suivant donne le coût des composants à remplacer : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\emph{Composant}	&Alimentation	&Carte graphique&  Processeur\\ \hline  
\emph{Prix en} \euro&80				&160			&80\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

Le coût d'une réparation est celui du remplacement des pièces auquel il faut \textbf{ajouter} un forfait de main-d'{\oe}uvre de 25~\euro{} \textbf{indépendant du nombre de composants à remplacer}. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque ordinateur en panne associe le coût de la réparation.
		
Donner la liste des valeurs possibles de $X$. 
		\item  Donner dans un tableau la loi de probabilité de $X$. 
		\item  Calculer l'espérance mathématique de $X$. Arrondir le résultat à l'unité. 
		\item  Quel devrait être le coût du forfait de la main-d'{\oe}uvre, arrondi à l'unité, pour que le prix moyen d'une réparation soit de 200~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip 

Ce problème a pour  but de montrer un exemple de courbes représentatives de deux fonctions qui  sont asymptotes, puis de calculer une aire comprise entre deux courbes. 

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction}

\medskip
 
On considère la courbe représentative $\mathcal{C}$, d'une fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$, dans le plan rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm en abscisse et 1,5~cm en ordonnée.

Cette courbe est représentée sur le document fourni en annexe.
 
Les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses ont pour coordonnées respectives  (1~;~0) et (3~;~0).

\medskip
 	 
\begin{enumerate}
\item Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que, pour tout réel  $x \in  ]0~;~+\infty[$,

\[g(x) = \dfrac{x^2 + ax + b}{x}.\] 
 
En utilisant les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses, déterminer les nombres $a$ et $b$. 
\item Montrer que $g(x)$ peut s'écrire : $g(x) = x - 4 + \dfrac{3}{x}$.  
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B  Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[h(x) = x^2 + 1 - 2 \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variations. 
\item Calculer $h(1)$. En déduire que $h(x)$ est strictement positif pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Étude de fonction}

\medskip
  
On définit la fonction $f$ par, 

\[f(x) = x - 4 + \dfrac{1 + 2\ln x}{x}\]

sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On appellera $\Gamma$, la courbe représentative de $f$ dans le repère orthogonal du document 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers zéro. En déduire que $\Gamma$ admet une asymptote que l'on précisera. 
\item Calculer la limite de $f(x)$ en $+ \infty$. 
\item Pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ montrer que $f'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$. En déduire le tableau de variations de $f$. 
\item Courbes asymptotes.  On rappelle que $g(x) = x - 4 + \dfrac{3}{x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite en $+ \infty$ de $f(x) - g(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat. 
		\item  Déterminer,  par le calcul, les coordonnées du point d'intersection des courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$. 
		\item  Sur $]0~;~+ \infty[$ déterminer la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item 	Construire la courbe $\Gamma$ sur le document fourni en annexe et \textbf{que l'on rendra avec  la copie}.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie D : Calcul d'une aire comprise entre deux courbes}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x) - g(x)$ admet pour primitive sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction $K$ définie par : 

\[K(x) = (\ln x - 1)^2.\]
 
\item Sur le document fourni en annexe, hachurer l'aire comprise entre les deux courbes et les droites d'équations $x = \text{e}$ et $x = \text{e}^2$. 
\item 	Calculer la valeur de cette aire en cm$^2$. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{landscape}

\textbf{\large Document à rendre avec la copie}

\vspace{0.25cm}

\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(10,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.7pt,gridcolor=orange,linestyle=dotted](0,-3)(10,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(10,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](10,0){$x$}\uput[l](0,6.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.31}{9.69}{x 4 sub 3 x div add}
\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{center}
\end{document}