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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie Civil, énergétique, mécanique (A et F)}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~ Baccalauréat STI Métropole septembre 2000~\decofourright\\[4pt]Génie Civil, énergétique, mécanique (A et F) } \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Les trois machines A, B et C d'un atelier ont une production totale de
\np{10000} pièces du même type.

Elles produisent respectivement \np{2000},~\np{3000} et \np{5000} pièces.

Par ailleurs, on constate que le nombre de pièces avec défaut est de $100$ pour A, de $120$ pour B et de $150$ pour C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{l|}{} 		& Machine A	&Machine B&	Machine C	&TOTAL\\ \hline
Nombre de pièces sans défaut& 			& 			& 			& \\ \hline
Nombre de pièces avec défaut& 			& 			&$150$		&\\ \hline
TOTAL						&\np{2000}	& 			& 			&\np{10000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Une pièce est choisie au hasard dans la production totale.

Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité $p_1$ pour qu'elle provienne de A est égale à $0,2$.
		\item Montrer que la probabilité $p_2$ pour qu'elle ait un défaut est égale à $0,037$.
		\item Calculer à $10^{-3}$ près la probabilité $p_3$ pour qu'elle provienne de B  et qu'elle soit sans défaut.
	\end{enumerate}
\item Une pièce est choisie au hasard dans l'ensemble des pièces sans défaut.

Toutes ces pièces ayant la même probabilité d'être choisies, calculer à $10^{-3}$ près la probabilité pour qu'elle provienne de B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

\[(z - 4)\left(z^2 - 2z + 4\right) = 0.\]

\item On note A, B et C les points d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 4 \quad ; \quad z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3} \quad ; 
\quad z_{\text{C}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme trigonométrique.
		\item Placer avec précision les points A, B et C dans le plan complexe.

On fera le dessin sur la copie
		\item Calculer $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right|,~ \left|z_{\text{C}} -  z_{\text{B}}\right|$ et $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}\right|$.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item On note K le point d'affixe $z_{\text{K}} = - \sqrt{3} + \text{i}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Placer avec précision le point K sur la figure précédente.
		\item Démontrer que le triangle OBK est rectangle isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

On se propose d'étudier, dans une première partie, quelques propriétés d'une fonction $f$ dont la représentation graphique est donnée. On s'intéresse, dans une seconde partie, à l'une de ses primitives et, dans une troisième partie, au calcul d'une aire.

\textsl{Pour tout le problème, le plan est muni du repère orthonormé} 
\Oij{} \textsl{d'unité graphique} $4$~cm.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{Partie A - étude graphique d'une fonction} 
\end{center}
Soit $f$ la fonction définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$  par :

\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x}  - \text{e}^x}{\text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1}.\]

On trouvera sur le graphique ci-après, le tracé de la courbe $\mathcal{C}$
 représentative de la fonction $f$ et le tracé de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$  au point K(0~;~1), dans le repère orthonormé \Oij.

On admet que le point K est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$ et  que le point B(1~;~3) appartient à la tangente T.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.5,3.2)
\psaxes(0,0)(-2.5,-2)(2.5,3.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-1.5,-2)(1.1,3.2)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](-0.666,0){A} \uput[r](0,1){K}
\uput[r](1,3){B} \uput[u](0.6,2.4){T}
\uput[u](2.3,2.1){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[r](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=purple]{
\psplot{-0.693}{0}{2.71828 x 2 mul exp 2 mul 2.71828 x exp sub 2.71828 x 2 
mul exp 2.71828 x exp sub 1 add div}
\psline(0,0)(-0.693,0)
}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,3)(0,3)
\psline(-1.5,-2)(1.1,3.2)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{2.71828 x 2 mul exp 2 mul 2.71828 x exp sub 2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp sub 1 add div}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)

\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On se propose de démontrer certaines propriétés de la courbe $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la limite de $f$ en $- \infty$ et préciser l'asymptote à $\mathcal{C}$ correspondante.
		\item On admet que pour tout réel $x,~ f(x)$ peut se mettre sous la forme :

\[f(x) = \dfrac{2 - \text{e}^{-x}}{1 - \text{e}^{-x} + \text{e}^{-2x}}.\]

En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$ et préciser l'asymptote à $\mathcal{C}$ correspondante.
		\item  Vérifier, par le calcul, que le point A$(- \ln 2~ ;~ 0)$ est un point de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Grâce à une lecture graphique, répondre aux questions suivantes en justifiant vos réponses.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la valeur de $f'(0)$. 
		\item Donner le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B - étude d'une primitive de \boldmath $f$ 
\unboldmath sur  \boldmath $]- \infty~;~+ \infty[$ 
\unboldmath} 
\end{center}

Soit $F$ la fonction définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par
	
\[F(x) = \ln \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1\right).\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé 
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier la limite de $F$ en $- \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat  pour la courbe $\Gamma$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour tout réel $x,~ F(x)$ peut 
s'écrire :

\[F(x) = 2x + \ln \left(1 - \text{e}^{-x} + \text{e}^{-2x}\right).\] 

		\item Calculer la limite de $F$ en $+ \infty$, puis la limite de $F(x) - (2x)$ en $+ \infty$.
		\item En déduire que la courbe $\Gamma$ admet une droite asymptote.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $f$ est la fonction dérivée de $F$ sur $]- \infty~;~+ \infty[$.
		\item Vérifier que $F(- \ln 2) = \ln \dfrac{3}{4}$.
		\item Déduire de la \textbf{partie A} le tableau de variations de la fonction $F$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats à 
$10^{-2}$ près :

\medskip

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$x$ 	&$-3$	&$-2$	&$-1$	& 0	&0,5	&1	&1,5	&2	&2,5\\ \hline
$F(x)$	& 		& 		& 		& 	& 		& 	& 		& 	& \\ \hline
\end{tabularx}\] 

\medskip

\item Sur la feuille de papier millimétré, tracer dans le repère \Oij{} d'unités graphiques $4$~cm, les droites d'équations respectives $y = 2x$ et $y = 0$, puis la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{Partie C - Calcul d'une aire} 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{- \ln 2}^0  f(x)\: \text{d}x$.
\item En déduire la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire du domaine AOK (grisé sur la courbe jointe) et en donner une valeur approchée à un millimètre carré près par excès.
\end{enumerate} 
\end{document}