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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat TSI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large  \decofourleft~Baccalauréat TSI Métropole juin 2002 ~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

Une roue de loterie comporte 3 secteurs, portant respectivement les numéros 1, 2 et 3. Quand on fait tourner la roue, un repère indique le numéro sortant.

La probabilité de sortie du numéro 2 est double de la probabilité de sortie du numéro 1, et la probabilité de sortie du numéro 3 est triple de celle du numéro 1.

Calculer les probabilités de sortie respectives des trois numéros.

\bigskip

\textbf{ Partie B}

\medskip

\parbox[c]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\pscircle(0,0){1.5}
\SpecialCoor
\psline(1.5;-150)(1.5;30)
\psline(1.5;-90)(1.5;90)
\psline(1.5;150)(1.5;-30)
\rput(1;0){R} \rput(1;60){R} \rput(1;120){B} 
\rput(1;180){J} \rput(1;-120){R} \rput(1;-60){J} 
\end{pspicture}} \hfill
\parbox[c]{0.65\textwidth}{La roue est maintenant divisée en 6 secteurs égaux
 ayant chacun la même probabilité de s'arrêter devant le repère.\\
2 secteurs sont jaunes (marqués J sur la figure)\\
3 secteurs sont rouges (marqués R sur la figure)\\
1 secteur est bleu (marqué B sur la figure)}

\vspace{0,3cm}

La règle du jeu est la suivante : pour participer au jeu, le 
joueur doit miser une certaine somme et si le jaune sort, il gagne $20$~\euro, si le bleu sort, il gagne $30$~\euro, si le rouge sort, il ne 
gagne rien.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que la mise est 
de $10$~\euro. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque arrêt de la roue associe le gain effectif (positif ou négatif) du joueur. (Par exemple, si le bleu  sort, le gain effectif pour le  joueur est de $20$~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer son espérance mathématique.
	\end{enumerate}
\item L'organisateur du jeu ne souhaite pas que l'espérance de gain 
du joueur sait positive. à quelle valeur minimale, exprimée par un nombre entier
d'euros, doit-il fixer le montant de la mise ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $P(z) = z^3 - 4z^2 + 9z- 10$ où $z$ appartient à  l'ensemble $\C$ des nombres complexes.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 5 = 0$.
		\item Calculer $P(2)$.
		\item Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que $P(z) = (z - 
2)\left(az^2 +  bz + c\right)$.
		\item Déduire des questions précédentes les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 2\quad ;\quad z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i} \quad ;\quad 
z_{\text{C}} = 1 - 2\text{i} \quad 
\text{et} \quad  z_{\text{D}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C et D dans le plan complexe (sur  papier millimétré).
		\item Calculer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}} - z_{\text{D}},~z_{\text{B}}-z_{\text{D}}$  et $z_{\text{B}} - z_{\text{A}}$.

En déduire la nature du triangle ABD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}}

\bigskip

\textbf{Partie A : étude du signe de} \boldmath  $x^3 -1 + 
2\ln (x)$ \unboldmath

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~,+ \infty[$ par 

\[g(x) = x^3 - 1 + 2\ln x.\]

($\ln x$ désigne le logarithme népérien de $x$)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. (Les 
limites ne sont pas demandées).
\item Calculer $g(1)$.
\item Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ sur 
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Courbe représentative d'une fonction et calcul d'aire}\\
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~,+ \infty[$ par 

\[f(x) = x - 1 - \dfrac{\ln x}{x^2}.\]

On appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le 
plan rapporté à un repère orthogonal \Oij. (unités : $3$~cm sur l'axe des abscisses, $2$~cm sur l'axe des  ordonnées.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 
0} f(x)$.
		\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = x - 1$ est asymptote 
oblique à $(\mathcal{C})$. Y a-t'il une autre asymptote à $(\mathcal{C})$ ? Si oui, donner son équation.
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire $f'(x) 
=\dfrac{g(x)}{x^3}$.
		\item En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, déterminer le  signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la 
fonction $f$.
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection entre 
l'asymptote (D) et la courbe $(\mathcal{C})$.

Étudier la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la  droite  (D).

		\item Tracer dans le repère \Oij{} la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites  (D) et (T).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ définie par 

\[H(x) = - \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\]

est une primitive de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$.
		\item Soit $\Delta$ le domaine plan limité par (D), $(\mathcal{C})$ et les droites d'équation $x =  1$ et $x = \sqrt{\text{e}}$.

Hachurer $\Delta$ ; calculer la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, de 
$\Delta$ ; en donner une valeur approchée au mm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}