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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique}
\lfoot{\small Métropole juin 2003}
\rfoot{\small{}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie énergétique, génie civil, génie mécanique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation

\[z^2 - 6z + 34 = 0.\]

\item Soient A, B et C les points d'affixes respectives 
$z_{\text{A}} = - 3 + 5\text{i},~ z_{\text{B}} = 3 - 55\text{i}$ et 
$z_{\text{C}} = 4\text{i}$.

	\begin{enumerate}
		\item Placer A, B et C dans le repère.
		\item Calculer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}} - 3,~ 
z_{\text{B}} - 3$ et $z_{\text{C}} - 3$. En déduire que les points A, B
et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\item Soit D le symétrique de A par rapport à C et E le symétrique
 de B par rapport à C. Placer les points D et E dans le repère. Montrer que ABDE est un losange. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle 

\[y' + 2y = 0\]

où $y$ est une fonction numérique définie et dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation (E).
		\item Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0~;~10]$.
		\item Déterminer, en fonction de $n$, la valeur moyenne de $f$ sur
 l'intervalle $[n~;~n+1]$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $(u_n)$, la suite définie par $u_n = n \left(1 -\text{e}^{-2}\right)\text{e}^{-2n}$ pour tout $n$ entier positif ou nul.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $u_0,~ u_1$ et $u_2$.
		\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont
 on précisera le premier terme et la raison.
		\item Déterminer la valeur exacte de la somme $u_0 + 
u_1 + \cdots + u_9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{- 3 - 2x}{\text{e}^x}.\]

On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative
 de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : étude de la fonction } \boldmath $f$ 
\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. On précisera son équation. 
	\end{enumerate}  
\item Calculer $f'(x)$, où $f$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation d'inconnue $x~:~ f(x) = 0$.
 En déduire, en fonction de $x$ réel, le signe de $f(x)$.
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère indiqué.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Détermination d'une primitive et calculs d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = 
\dfrac{2x + 5}{\text{e}^x}$ est une  primitive de $f$ sur $\R$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer l'aire du domaine délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - \dfrac{3}{2}$ et $x =  5$.
		\item	Calculer la valeur, en cm$^2$, de cette aire, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ de $\R$, on pose $g(x) = - f(x)$ et on appelle  $(\Gamma)$ la courbe représentative de la fonction $g$. Tracer la courbe $(\Gamma)$ dans le même repère que la courbe $(\mathcal{C})$.
		\item Soit $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire du domaine compris entre les courbes $(\mathcal{C})$  et $(\Gamma)$ et les droites d'équation $x = - \dfrac{3}{2}$ et $x =   \alpha$ (où $\alpha$ est un réel positif donné). Calculer, en cm$^2$ et en fonction de $\alpha$, la valeur de $\mathcal{A}(\alpha)$.
		\item Calculer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ 
tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}