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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~
\overrightarrow{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}  {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2002~\decofourright\\[5pt]Génie énergétique,  civil,  mécanique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $P$ le polynôme défini par $P(z) = z^3 - 2z^2 + 16$.
	\begin{enumerate}
		\item Trouver la valeur du nombre réel $a$, tel que, pour tout
nombre complexe $z,~ P(z) =  (z + 2)\left(z^2 + az + 8\right)$.
		\item  Résoudre alors l'équation :  $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  Soient A, B et C les points d'affixes respectives
\[z_{\text{A}}	= 2 + 2 \text{i}\quad ; \quad  z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i} \quad ; \quad ;	{\text{C}}=  - 2.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la forme trigonométrique de $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
		\item  Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
	\end{enumerate}
\item  Soit B$'$ le point d'affixe $4$i.
	\begin{enumerate}
		\item  Trouver  l'affixe du point  $\Omega$ milieu de [BB$'$]. 
		\item  Montrer que les pointa B, B$'$ et C appartiennent à un cercle de centre $\Omega$ dont on déterminera le rayon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

On désire redresser une  tension sinusoïdale alternative à l'aide d'un montage redresseur à diodes : 

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,5)
\pnode(2,0){A} \pnode(2,3){B} \pnode(2,5){C} \pnode(6,5){K}
\pnode(10,5){E} \pnode(10,0){G} \pnode(6,0){F} \pnode(6,2.5){H}
\psframe(9.6,1.6)(10.4,3.2) \psline(10,0)(10,1.6)%
\psline(10,3.2)(10,5)(2,5) \psline(1,2)(6,2)%
\uput[l](9.6,2.4){$RC$} \psline{->}(11,0.5)(11,3.5)%
\psline{->}(0,2)(0,3)%
\uput[r](0,2.5){$u(t)$}%
\uput[r](11,2){$u_{C}(t)$}%
\diode(A)(B){$D_{2}$} 
\diode(B)(C){$D_{1}$}%
\diode(F)(H){$D_{4}$}
\diode(H)(K){$D_{3}$}%
\psline(2,0)(10,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(10,4)(10,3.7)
\qdisk(6,2.5){4pt} \qdisk(2,3){4pt}
\psline(1,3)(2,3) 
\end{pspicture}

\medskip

La tension  $u(t)$ est exprimée en volts et $t$ en secondes.

La courbe représentant la tension $u(t)$ relevée à 
l'oscilloscope est donnée, en annexe.

L'intervalle $\left[0~;~2\cdot 10^{-2}\right]$ correspond à une période de la fonction $u$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $u(t)$ est de la forme $u(t) =  \text{U}\sin (\omega t  + \varphi)$, où U et $\omega$ sont des réels strictement positifs et $\varphi$ un réel appartenant à $]- \pi~;~ \pi]$.

On suppose, conformément à la représentation graphique de la fonction 

$t \mapsto u(t)$, que $u(t)$ est nulle pour $t =  0$, pour $t = 10^{-2}$
et pour $t = 2\cdot 10^{-2}$ et que la valeur maximale de $u(t)$ est $325$.

Déterminer, à l'aide de la courbe, la période T et  le réel $\varphi$. On rappelle que T$ = \dfrac{2\pi}{\omega}$ ;  	en déduire la valeur exacte de la pulsation  $\omega$.
\item  On admet désormais que la tension $u(t)$ est donnée par $u(t) =  325 \sin (100\pi t)$. La tension redressée $u_{C}(t)$ est telle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si $t \in \left[0~;~10^{-2}\right],{} u_{C} (t) = u(t)$,
\item si $t \in  \left[10^{-2}~;~2 \cdot 10^{-2}\right],{} u_{C}(t) = - u(t)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  Sur le dessin donné en annexe, tracer la représentation graphique de $u_{C}$ sur l'intervalle $\left[0~;~2\cdot 10^{-2}\right]$. 
(Cette feuille est à rendre avec la copie.)
		\item  Calculer la valeur moyenne de la tension redressée $u_{C}(t)$ sur $\left[0~;~ 2\cdot 10^{-2}\right]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Annexe} à  rendre avec la copie

\vspace{1cm}

\psset{xunit=500cm,yunit=0.007692cm}
\begin{pspicture}(0,-325)(0.02,325)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=325]{->}(0,0)(0,-325)(0.02,325)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.02}{18000 x mul sin 325 mul}
\uput[l](0,325){325} \uput[dl](0.01,0){$10^{-2}$}\uput[dr](0.02,0){$2\cdot 10^{-2}$}
\uput[r](0,350){$u(t)$} \uput[u](0.02,0){$t$}
\psline[linestyle=dashed](0,325)(0.005,325)
\psline[linestyle=dashed](0,-325)(0.015,-325)
\end{pspicture}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

Le plan est rapporté un repère orthogonal \Oij{} (unité graphique : 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur  l'axe des ordonnées.

Soit $f$ la  fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ 
par

\[f(x) = 2x - 5 +  \dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit  $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = 2x^2  - 2 + \ln x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$, puis étudier le  signe de $g'(x)$.
\item Dresser le tableau de variations de $g$ (les limites en $0$ et en
$+ \infty$	ne sont pas demandées).

Calculer $g(1)$ et en déduire le signe	de $g(x)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :  étude de  \boldmath $f$ \unboldmath et représentation graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. En déduire l'existence d'une droite asymptote à $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$. Vérifier que $f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item  Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 5$ est
te	à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
\item  Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$.
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$  admet deux solutions $\alpha$ et
$\beta	~(\alpha < \beta)$ sur $]0~;~+ \infty[$. Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de chacune d'elles.
\item  Tracer, dans le repère \Oij, la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : étude d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $H(x) = (\ln x)^2$.\\Calculer $H'(x)$.
\item  Soit $\mathcal{E}$ la partie du plan limitée par $\mathcal{C}$ la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x= \text{e}$ et $x = 5$. (e :  base du logarithme népérien).

Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{E}$. En donner également une valeur approchée à $1$ mm$^2$ près.
\end{enumerate}
\end{document}