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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2003 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal 
\Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - 1 - \text{i} \quad ; \quad z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\quad ;  \quad  z_{\text{C}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad z_{\text{D}} = z_{\text{B}} \times z_{\text{C}}.\]

où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{D}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}},~ z_{\text{B}}$  et $ z_{\text{C}}$.
		\item En déduire le module et un argument de  $z_{\text{D}}$.
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions \textbf{1.} et \textbf{2.b.} les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{13\pi}{12}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{13\pi}{12}\right)$.
\item On considère les points E et F d'affixes $z_{\text{E}} = 1$ et 
$z_{\text{F}} =\dfrac{1}{2}\text{i}$. Placer les points A, B, C, D, E et F dans le plan $\mathcal{P}$.
\item Montrer qu'il existe un réel positif $k$ tel que les modules de $z_{\text{A}},~ z_{\text{E}},~k \times z_{\text{D}}$ et $z_{\text{F}}$ soient, dans cet ordre, quatre termes consécutifs d'une suite géométrique dont on précisera la raison.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle

\[9y'' + y = 0,\]

où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\medskip

\item Déterminer la solution particulière $f$ vérifiant

\[f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\quad  \text{et} \quad  
f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0.\]

\item Montrer que pour tout $x$ réel, on a :

\[f(x) = \sqrt{2}\cos \left(\dfrac{1}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right).\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item Calculer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur $[0 ~;~ 2\pi]$. On en donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-3}$ prés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques :
$1$~cm sur l'axe des abscisses et $4$~cm sur l'axe des ordonnées).

\bigskip

\textbf{Partie A : Recherche d'une fonction}

\medskip

Soit $g$ une fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = a(\ln x)^2 + b\ln x + c,\]

où $a,\: b$ et $c$ sont trois réels.

Déterminer $a,\: b$ et $c$ sachant que sa courbe représentative dans le 
repère \Oij{} passe par les points A(1~;~2), B (e~;~0) et C$\left(\text{e}^3~;~2\right)$.	

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par:

\[f(x) = (\ln x)^2 - 3\ln x + 2.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ en $0$.
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, on a :

\[f(x) = \ln x(\ln x - 3) + 2.\]

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que :

\[f'(x) \dfrac{2 \ln x-3}{x}.\]

où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.	
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0 ~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $X$ :

\[X^2 - 3X + 2 = 0.\]

		\item En déduire les solutions exactes dans $]0 ~;~ + \infty[$ de 
l'équation : $f(x) = 0$.
		\item Déduire, des questions \textbf{2.c.} et \textbf{3.b.}, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse e.
		\item Tracer la courbe $\Gamma$ et la tangente $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Primitive et calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la fonction, définie sur $]0~;~+ \infty[$, par :

\[x \longmapsto x(\ln x)^2- 5x \ln x+ 5x,\]

est une primitive sur $]0~;~+ \infty[$ de la fonction $x	
\longmapsto (\ln x)^2 -3 \ln x$.
\item En déduire la primitive $F$ de $f$ sur $]0 ~;~ + \infty[$ qui s'annule pour $x = 1$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer la partie du plan délimitée par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \text{e}$ et $x = \text{e}^2$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie hachurée. On en donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}