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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}  
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie Mécanique Métropole septembre 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Une feuille de  papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Soit $P(z) = z^3 - 8z -32$ , où $z$ est un nombre complexe.

\begin{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $P(4)$.
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 + 4z + 8 = 0$.
		\item Déterminer les réels $a,\: b,\: c$ tels que : $P(z) = (z - 4)\left(az^2 + bz + c\right)$.
		\item Déduire des questions précédentes la résolution de l'équation 
$P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C d'affixes 
respectives :

\[z_{\text{A}}  = 4 \quad ; \quad z_{\text{B}} = - 2 + 2\text{i} \quad ; 
\quad z_{\text{C}} = - 2 - 2\text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Faire une figure, sur la copie, représentant les points A, B,  C dans le repère.
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{B}}$  et $z_{\text{C}}$.
		\item Déterminer, en justifiant, la nature du triangle OBC.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Omega$ le point d'affixe $z_{\Omega} = \dfrac{2}{3}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}} -  z_{\Omega},~z_{\text{B}} - z_{\Omega},~z_{\text{C}} - z_{\Omega}$.
		\item Que représente $\Omega$ pour le triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Dans un atelier de réparation un technicien s'occupe des ordinateurs en panne qui lui arrivent. Les composants à l'origine de la panne peuvent uniquement  être : l'alimentation, la carte graphique ou le processeur.

Une panne simultanée de deux ou trois composants est possible.

Le technicien chargé de la détection des pannes établit le 
diagnostic d'un ordinateur à l'aide d'un triplet utilisant les initiales des
 composants, surmontées d'une  barre en cas de panne.
 
Par exemple : (A ; CG ; $\overline{\text{P}}$) signifie que l'alimentation et la carte  graphique fonctionnent et que la panne provient du processeur.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Établir la liste des sept diagnostics possibles sur un  ordinateur en panne.
\item  On suppose que les sept diagnostics ont la même probabilité 
d'être établis. Quelle est la probabilité pour qu'un seul des composants 
soit en panne ?
\item  Le tableau suivant donne le coût des composants à remplacer :

\begin{center} \begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
Composant 		& Alimentation & Carte graphique 	& Processeur\\ \hline
Prix en \euro	&	80 					&	160 	&	80 \\ \hline
\end{tabular} \end{center}

Le coût d'une réparation est celui du remplacement des pièces  auquel il faut ajouter un forfait de main-d'oeuvre de 25 \euro{} indépendant du nombre de  composants à remplacer.
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque ordinateur en panne associe le coût de la réparation. Donner la liste des valeurs possibles  de $X$.
		\item Donner dans un tableau la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Arrondir le résultat à  l'unité.
		\item Quel devrait être le coût du forfait de la main-d'{\oe}uvre, 
arrondi à l'unité, pour que le prix moyen d'une réparation soit de $200$ ~\euro ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Ce problème a pour but de montrer un exemple de courbes représentatives de deux fonctions qui sont asymptotes, puis de calculer une aire comprise entre deux  courbes.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction}

\medskip

On considère la courbe représentative $\mathcal{C}$, d'une fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$, dans le plan rapporté à un repère orthogonal d'unités  graphiques $2$~cm en abscisse et $1,5$~cm en ordonnée.

Cette courbe est représentée sur le document fourni en annexe.
 
Les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses ont pour  coordonnées respectives (1 ; 0) et (3 ; 0).

\begin{enumerate} 
\item Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que, pour tout réel $x \in ]0~;~+ \infty[,$

$g(x) = \dfrac{x^2 + ax + b}{x}$.

En utilisant les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses, déterminer les nombres $a$ et $b$.
\item Montrer que $g(x)$ peut s'écrire : $g(x) = x - 4 + \dfrac{3}{x}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par  : $h(x) =  x^2+ 1 - 
2\ln x$.

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de  variations.
\item Calculer $h(1)$. En déduire que $h(x)$ est strictement positif pour 
tout nombre réel $x$ de $]0~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude de fonction}

\medskip

On définit la fonction $f$ par : 

\[f(x) = x - 4 + \dfrac{1 + 2\ln x}{x}\]

sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On appellera $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthogonal du document 1.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers zéro. En déduire que $\Gamma$ admet une asymptote que l'on précisera.
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ montrer que $f'(x) = 
\dfrac{h(x)}{x^2}$. En déduire le tableau  de variations de $f$.
\item Courbes asymptotes. On rappelle que $g(x) =  x - 4 + \dfrac{3}{x}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite en $+ \infty$ de $f(x) - g(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point 
d'intersection des courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$.
		\item Sur $]0~;~ + \infty[$ déterminer la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Construire la courbe $\Gamma$ sur le document fourni en annexe et que 
l'on rendra avec la copie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : Calcul d'une aire comprise entre deux courbes}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f(x) - g(x)$ admet pour primitive sur $]0~;~ + \infty[$ la  fonction $K$ définie par :

\[K(x) = (\ln x - 1)^2.\]

\item Sur le document fourni en annexe, hachurer l'aire comprise 
entre les deux courbes et les droites d'équations $x =  \text{e}$ et $x= 
\text{e}^2$.
\item Calculer la valeur de cette aire en cm$^2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.05cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(10,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(10,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](9.7,0){$x$} \uput[r](0,7.1){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.28}{10}{3 x  div x add 4 sub}
\uput[u](9,5.3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}