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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil Métropole juin 2004 ~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique $2$~cm.

Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument  $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit trois nombres complexes 

\[z_1 = \sqrt{3} +  \text{i} \qquad ;\qquad z_2 =  \dfrac{z_1^2}{2} \qquad 
\text{et} \quad  z_3 = \dfrac{4}{z_2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_1$.
		\item Écrire sous la forme $a + b\text{i}$ les complexes $z_2$ et $z_3$.
	\end{enumerate}
\item Soit quatre nombres complexes 

\[z_{\text{A}} = \sqrt{3} +  \text{i},~ z_{\text{B}} = 1 + 
\text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}}= - \sqrt{3} + \text{i} \quad \text{et} 
\quad z_{\text{D}} = 1 -\text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{A}}$ et $z_{\text{D}}$ sont sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Tracer le cercle dans le plan complexe et placer les points A, B, C et D.
		\item Calculer $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|$ et  
$\left|z_{\text{D}} - z_{\text{A}}\right|$.
		\item Calculer les affixes des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CD}}$ ; vérifier que 
$\vect{\text{CD}} = -\left(\sqrt{3} + 2\right)\vect{\text{AB}}$.
		\item Indiquer si les propositions suivantes sont justes ou fausses ; justifier vos réponses.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] AD = BC ;
\item[$\bullet~~$] CD =  3AB ;
\item[$\bullet~~$] ABCD est un trapèze isocèle.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Une association de randonneurs organise un repas. Elle fixe le prix de la 
manière suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le tarif pour un enfant âgé de 10 ans ou moins est de $5$~\euro{} ;
\item[$\bullet~~$] le tarif pour un jeune âgé de 11 à $16$~ans est de $8$~\euro{} ;
\item[$\bullet~~$] dans les autres cas le tarif est de $10$~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

De plus, tout membre de l'association bénéficie d'une réduction de $20\,\%$  appliquée au tarif le concernant. Ainsi, un membre âgé de 11 à 16 ans 
paiera $6,40$~\euro.
 
Les participants au repas, au nombre de $600$, sont répartis
selon le tableau ci-dessous :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}}\hline
Participant& 10 ans ou moins& entre 11 et 16 ans& plus de 16 ans& 	Total
\\ \hline
membre		&50		&40		&110	&200\\ \hline
non-membre	&110	&100	&190 	&400\\ \hline
Total		&160	&140	&300	&600\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

On choisit au hasard une personne ayant participé au repas.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité qu'elle soit membre de l'association ?
\item Quelle est la probabilité qu'elle paye plus de $7$~\euro ?
\item On considère la variable aléatoire $X$ égale au prix du repas pour un  participant choisi au hasard. Vérifier que la probabilité pour que $X$
 prenne la valeur $6,40$ est égale à $\dfrac{1}{15}$.
\item Déterminer les valeurs prises par $X$, puis donner la loi de probabilité de $X$. 
\item Déterminer l'espérance mathématique de $X$, notée E($X$)
(calculer la valeur exacte sous forme de fraction, puis une valeur décimale approchée à $0,01$ près).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Calculer la recette totale perçue par l'association à l'occasion de ce repas.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la  fonction définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par

\[f(x) =  - x + \ln (2x + 2) - \ln (x + 2).\]

On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative 
de la fonction $f$ dans un repère orthogonal ($4$~cm pour une unité en abscisses et $8$~cm pour une unité en ordonnées).

\bigskip

\textbf{Préliminaires :}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que sur $]-1~;~+ \infty[,\,(2x + 2)  > 0$ et $(x + 2) > 
0$.
\item Étudier le signe de $x^2 + 3x + 1$ sur $\R$ et en déduire que sur 
$]-1~;~+ \infty[,\,x^2 + 3x + 1$ s'annule pour une et une seule valeur $\alpha$ dont on donnera la valeur exacte.
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A : Limites et asymptotes}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x)$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = -x + \ln  2 + \ln \left(\dfrac{x + 1}{x + 2}\right)$.
		\item Déterminer alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -x + \ln (2)$ est asymptote oblique à ($\mathcal{C}$) en $+ \infty$.
		\item Déterminer la position de ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite $\mathcal{D}$ sur $]-1~;~+ \infty[$.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude des variations}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que $f'(x) = - \dfrac{x^2 + 3x + 1}{(x + 1)(x + 2)}$.
\item À l'aide des résultats obtenus dans les préliminaires, étudier le signe de $f'$ sur $]-1~;~+ \infty[$.
\item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ 
(on se contentera d'une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près de 
l'extremum de $f$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Représentation graphique}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Justifier que l'équation $f(x) =  0$ admet, dans l'intervalle $[- 0,8~;~- 0,4]$, une solution unique notée $\beta$.

Donner un encadrement de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
\item Déterminer une équation de la droite T tangente à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $0$.
\item Reproduire et compléter le tableau suivant : (on donnera les résultats arrondis à $10^{-1}$ près) :

\[\renewcommand{\arraystretch}{2.5}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& $-0,8$&$\dfrac{\sqrt{5} - 3}{2}$	&0	& 0,5	& 1	& 2\\ \hline
$f(x)$	&					&				&	&		&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Représenter graphiquement la droite T, les asymptotes et ($\mathcal{C}$) dans le repère donné.
\end{enumerate}
\end{document}