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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie énergétique, civil, mécanique}
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie énergétique, civil}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes les équations suivantes  et donner les solutions sous forme algébrique : 
	\begin{enumerate}
		\item $z^2 - 2z + 2 = 0$. 
		\item $3z + 2 = (1 - \text{i})z - 7 + 13\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item On considère les nombres complexes : 

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad  z_{\text{B}} = -1 + 
7\text{i}\quad ; \quad z_{\text{D}} = - 3 + 3\text{i}.\]

On appelle A, B et D leurs images respectives dans le plan. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. 
		\item Montrer que $z_{\text{D}} = 3\text{i} z_{\text{A}}$ puis en déduire le module et un argument de $z_{\text{D}}$. 
		\item Placer les points A, B et D dans le repère \Ouv.
\end{enumerate}
\item On pose $r = \left|z_{\text{D}} - z_{\text{B}}\right|$. 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le nombre $r$. 
		\item Calculer $r$. 
		\item Montrer que le triangle ABD est rectangle et isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un atelier, deux machines M$_1$ et M$_2$ produisent le même type
 de pièces. La production totale journalière est de \np{8000} pièces. $40\,\%$ de la production provient de la machine M$_1$, le reste de la machine M$_2$.
 
Une pièce est susceptible de présenter deux types de défauts notés D$_1$ et  D$_2$.

Concernant les pièces produites par la machine M$_1$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~] 3\,\% 	présentent uniquement le défaut D$_1$,
\item[$\bullet$~] 2\,\% 	présentent uniquement le défaut D$_2$,
\item[$\bullet$~] 1\,\% 	présentent les deux défauts D$_1$ et D$_2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Concernant les pièces produites par la machine M$_2$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~] 5\,\% 	présentent uniquement le défaut D$_1$,
\item[$\bullet$~] 1\,\% 	présentent uniquement le défaut D$_2$,
\item[$\bullet$~] 2\,\% 	présentent les deux défauts D$_1$ et D$_2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après l'avoir reproduit sur votre copie, compléter le tableau suivant :

\medskip

\hspace*{-1cm} \begin{tabular}{|*{6}{c|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{} & Défaut D$_1$& Défaut D$_2$&  Défauts D$_1$ et D$_2$&Aucun défaut&	Total\\ \hline
Machine M$_1$&	96& & & & \\ \hline
Machine M$_2$& &   48 & & & \\ \hline
Total & & & & & \np{8000} \\ \hline
\end{tabular}

\medskip

\item On tire au hasard une pièce parmi celles qui n'ont aucun défaut. Montrer que la probabilité qu'elle provienne de la machine M$_1$ est 
 $\dfrac{47}{116}$.
\item On tire au hasard une pièce parmi les $\np{8000}$ produites dans la journée.
 
Déterminer la probabilité des évènements $A$ et $B$ suivants :

	\begin{enumerate}
		\item $A$ : \og La pièce n'a aucun défaut \fg{}.
		\item $B$ : \og La pièce a au moins un défaut \fg{}.
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'une pièce parmi les \np{8000}, associe le nombre de défauts de cette pièce.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer son espérance mathématique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = 2x - 2 + \dfrac{\ln x}{x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.

\bigskip

\textbf{I. Première partie :} étude d'une fonction auxiliaire $g$.

\medskip

On appelle $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 2x^2 + 1 - \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. (L'étude des  limites aux bornes de l'intervalle n'est pas demandée).

\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie :} étude de la fonction $f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item Déterminer $f(x)$ pour tout nombre réel x strictement positif, puis en déduire que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item Construire le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
\item Pour tout nombre réel $x$ strictement positif, on pose $d(x) = f(x) - (2x -  2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $d(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item En déduire que la droite (D), d'équation $y = 2x- 2$, est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Déterminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport à (D).
	\end{enumerate}
\item Tracer les droites (T) et (D) puis la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij, unité graphique : $2$~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III. Troisième partie :} Calcul d'aire

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $h$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par \mbox{$h(x) = \dfrac{1}{x} \ln x$}.

Déterminer une primitive $H$ de $h$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item Calculer en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x =  2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{}}
	  { 
		  \TR{}
		  \TR{}
		  \TR{}	   
	  }
	\pstree{\TR{}}
	  {
		  \TR{}
		  \TR{}
		  \TR{} 
	  }
	\pstree{\TR{}}
	  {
		  \TR{}
		   \TR{}
		   \TR{}
	  }	
}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Tableau des valeurs de X}

\vspace{1cm}

\renewcommand{\arraystretch}{2.}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{b}{a}&$0$&$1$&$2$\\ \hline
$0$&&&\\ \hline
$1$&&&\\ \hline
$2$&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}