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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2004~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal 
direct \Ouv, unité graphique : $2$~cm.

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives :

\[a = \text{i} \quad ;\quad  b = 1-2\text{i}\quad  ;\quad  c = 3+2\text{i}\quad ; \quad  d = -1+4\text{i}\quad  ; \quad e = -3.\]

On considère aussi l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe 
$z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \text{i}z - 
1 + \text{i}$.

\begin{enumerate} 
\item Placer les points A, B, C, D et E clans le repère \Ouv.
\item Étude de quelques cas particuliers. 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que l'image de A par $f$ est le point A lui-même et que l'image de B est le point C. 
		\item Déterminer les images de C, D et E par $f$.
	\end{enumerate}
\item Étude du quadrilatère BCDE.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer	$\dfrac{b + d}{2}$ et $\dfrac{c + e}{2}$ ; qu'en déduit-on pour le  quadrilatère BCDE ?			
		\item Calculer $|d - b|$ et $|e - c|$. Quelle information supplémentaire 
obtient-on sur le quadrilatère BCDE ? 	
		\item Montrer BC = BE et en déduire la nature exacte du quadrilatère BCDE.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Une urne opaque contient $25$ boules de deux couleurs, indiscernables au 
toucher : $6$ rouges et $19$ jaunes.

Parmi les rouges, trois portent le nombre $0$, deux le nombre $5$ et une le nombre $10$ ; parmi les jaunes, dix portent le nombre $0$, cinq le nombre $1$, deux le nombre  $5$ et deux le nombre $10$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On tire une boule de l'urne, au hasard ; tous les tirages 
sont équiprobables.

Déterminer les probabilités des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item A : \og la boule tirée ne porte pas le nombre $0$ \fg.
		\item B : \og la boule tirée est rouge et porte un nombre pair \fg. 
		\item C : \og la boule tirée est jaune ou porte un nombre impair \fg.

(\textsl{Les résultats seront donnés sous forme décimale exacte})
	\end{enumerate}
\item On organise une tombola. 

Pour participer à une partie, un joueur doit miser $2$~euros. Il tire ensuite une boule de l'urne. Si cette boule est jaune, il  reçoit une somme en euros égale au nombre inscrit sur la boule ; si elle est rouge, il reçoit une somme en euros égale au double du nombre inscrit sur la  boule.

On appelle \og gain \fg{} du joueur la différence entre la somme reçue et la mise :

\textbf{Exemples} : 

si le joueur tire une boule jaune portant le nombre $1$, son \og gain \fg{} est égal à $- 1$~euro.

si le joueur tire une boule rouge portant le nombre $5$, son \og gain \fg{} est égal  à $8$~euros.

On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le \og gain \fg{}  du joueur.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer, en détaillant le calcul, l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.

Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{I. Première partie}

\begin{enumerate} 
\item Découverte d'une fonction $f$
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation différentielle $y'- 2y = 0$ où $y$ est une fonction  dérivable sur l'ensemble des nombres réels. 
		\item Déterminer la solution particulière $f$ de cette équation différentielle vérifiant $f(0) =1$.
	\end{enumerate}	
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $g(x) = 
3\text{e}^x + 2x - 4$. 

Vérifier que $g$ est solution de l'équation différentielle $y'- y = 6- 2x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie : étude de la fonction} \boldmath  $h = f - g$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $h$ définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[h(x) =  \text{e}^{2x} -  3 \text{e}^x- 2x + 4,\]

 et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un 
repère orthogonal \Oij{} unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses  et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que $h(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 3 - 
2\dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{4}{\text{e}^x}\right)$ pour tout réel $x$ et en déduire la limite de $h$ en $+ \infty$

\item Étude en $- \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $h$ en $- \infty$.
		\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -2x + 4$ est asymptote oblique  à $\mathcal{C}$ en $- \infty$.
		\item On pose pour tout réel $x,\: d(x) = h(x) +2x - 4$ ;

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Vérifier que $d(x) = \text{e}^x(\text{e}^x - 3)$.
\item[$\bullet~$] Étudier le signe de $d(x)$ pour tout nombre réel $x$.
\item[$\bullet~$] En déduire la position relative de la 
courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate}
\item Étude de la dérivée de $h$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$ et vérifier que $h'(x) = \left(\text{e}^x -2\right)\left(2\text{e}^x + 1\right)$.
		\item Étudier le signe de $h'(x)$ pour tout nombre réel $x$, en déduire les  variations de $h$ et dresser son tableau de variations ; on donnera la valeur exacte du minimum de $h$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère  \Oij{} pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-4~;~1,5]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III. Troisième partie : calcul d'une aire}

\medskip

On considère le domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite 
$\mathcal{D}$, l'axe  des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 3$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Hachurer le domaine sur le graphique précédent.
\item Calculer en cm$^2$ la valeur exacte de l'aire du domaine J.
\end{enumerate}
\end{document}