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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie  juin 2009 ~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip
 
%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

% Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$ 

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation, d'inconnue $z$ : 
%\[z^2 -  2z\sqrt{2} + 4 = 0.\]
$z^2 -  2z\sqrt{2} + 4 = 0 \iff \left(z - \sqrt{2} \right)^2 - 2 + 4 = 0 \iff \left(z - \sqrt{2} \right)^2 + 2 = 0 \iff$

$  \left(z - \sqrt{2} \right)^2  - \left(\text{i}\sqrt{2} \right)^2 = 0$.

L'équation a donc deux solutions complexes : $\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$ et $\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$. 
\item  %On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{2}+ \text{i}\sqrt{2}$ et z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
$\left|z_{\text{A}}  \right|^2 = 2 + 2 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}}  \right| = 2$.

Donc on peut écrire $z_{\text{A}} = 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin  \frac{\pi}{4}\right)$.

Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $\dfrac{\pi}{4}.$

Comme $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},~\left|z_{\text{B}} \right| = 2$ et un argument de $z_{\text{B}}$ est $- \dfrac{\pi}{4}$.
	\item %Construire le cercle de centre O et de rayon 4~cm, puis placer les points A et B dans le repère \Ouv{} précisé ci-dessus.
Erreur d'énoncé : A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2. Pour A on construit la bissectrice de $\left(\vect{u}~;~\vect{v} \right)$.
	\end{enumerate} 
\item %On désigne par $R$ la transformation du plan complexe qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = \text{i}z$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Indiquer la nature de la transformation $R$ et préciser ses éléments caractéristiques.
Le produit par i de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$ est une rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{2}$ : un quart-de-tour.
	\item %Le point C est l'image du point A par la transformation $R$.
	 
%Déterminer la forme algébrique de l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. Placer ce point C dans le repère précédent.
On a  $z_{\text{C}} = \text{i}z_{\text{A}} = \text{i}\left(\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} \right) = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$.
	\item %Montrer que le point C est le symétrique du point B par rapport au point O.
On a $\dfrac{1}{2}\left(z_{\text{C}} + z_{\text{B}} \right) = 0$, ce qui signifie que O est le milieu de [BC], ou encore C est le symétrique du point B autour du point O.

Plus simplement : $z_{\text{C}} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} = - \left(\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2} \right) = - z_{\text{B}}.$
	\end{enumerate} 
%\emph{Dans cette question, toute rédaction,  même partielle, sera prise en compte dans 
l'évaluation.} 

\item %Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.
De la question précédente on déduit que OC = 2. La corde [BC] contient le centre du cercle O : c'est donc un diamètre. Le point A appartenant lui aussi au cercle de diamètre [BC], le triangle ABC est rectangle en A.

De plus $\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OA}} \right) = \left(\vect{\text{OB}},~\vect{u} \right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{OA}} \right) = - \left(\frac{\pi}{4} \right) + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Donc dans ABC, la droite (AO) est hauteur et médiane. 

Conclusion le triangle ABC rectangle est isocèle en A.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
\psdots(1.414,1.414)(1.414,-1.414)(-1.414,1.414)
\pspolygon(1.414,1.414)(1.414,-1.414)(-1.414,1.414)
\uput[ur](1.414,1.414){A} \uput[dr](1.414,-1.414){B} \uput[ul](-1.414,1.414){C} \uput[dl](0,0){O}
\pscircle[linecolor=blue](0,0){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

%Un sac contient 4 boules indiscernables au toucher : une jaune, une rouge, une verte et une noire notées respectivement : J, R, V et N. 

\medskip

%Dans une fête foraine, un jeu est organisé de la manière suivante: 

%On tire au hasard une première boule du sac ; on note sa couleur et on la remet dans le sac. On effectue ensuite un deuxième tirage au hasard, indépendant du premier, dont on note également la couleur.
% 
%Ces tirages sont équiprobables.

\medskip
 
%On appelle résultat un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage et le second élément est celle de la boule obtenue au second tirage.

%\textbf{Exemple : Le résultat du tirage de la boule rouge suivie de la boule verte se note (R~;~ V).}
 
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer l'ensemble des résultats possibles. 
Il y a $4 \times 4 = 16$ couples différents possibles.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{8}{>{\centering \arraybackslash}X}}
(J~;~J)&(J~;~R)&(J~;~V)&(J~;~N)&(R~;~J)&(R~;~R)&(R~;~V)&(R~;~N)\\
(V~;~J)&(V~;~R)&(V~;~V)&(V~;~N)&(N~;~J)&(N~;~R)&(N~;~V)&(N~;~N)&\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  %Calculer la probabilité du résultat (N~;~N).
Chaque couple a la même probabilité de sortir, donc $p(\text{N}~;~\text{N}) = \dfrac{1}{16}$. 
\item %Pour jouer, on doit miser 20~euros.
 
%Une boule jaune rapporte 20~euros, une boule rouge 12~euros, une boule verte 5~euros et une boule noire ne rapporte rien.
% 
%On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le bénéfice ou la perte réalisé par le joueur, un bénéfice étant compté positivement et une perte négativement.
 
%\textbf{Exemple\\ 
%Le résultat (R~;~ V) rapporte au joueur 17~euros. Il perd dans ce cas 20 - 17 = 3 euros. La valeur de $X$ correspondant à ce cas est donc $-3$.}
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour le résultat (J~;~R), la variable aléatoire $X$ prend la valeur $12$.
		La jaune rapporte 20~euros et la rouge 12~euros soit en tout 32~euros moins les 20~euros de mise soit un gain de 12~euros.
	\item %Indiquer dans un  tableau les résultats obtenus dans la question 1 en y mentionnant les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\centering \arraybackslash}X||*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{Tirage 1}{Tirage 2}&Rapport&J&R&V&N\\ \hline%
Rapport&&20&12&5&0\\ \hline \hline%
J&20&20&12&5&0\\ \hline%
R&12&12&4&$-3$&$-8$\\ \hline%
V&5&5&$-3$&$-10$&$-15$\\ \hline%
N&0&0&$-8$&$-15$&$-20$\\ \hline%
\end{tabularx}
\end{center} 
	\item %Montrer que la probabilité que $X$ prenne la valeur 12 est égale à \dfrac{1}{8}$. 
Deux tirages conduisent à un gain de 12~euros ; donc $p(X = 12) = \dfrac{2}{16} =  \dfrac{1}{8}$.
	\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&20&12&5&4&0&$-3$&$-8$&$-10$&$-15$&$-20$\\ \hline%
\rule[-3mm]{0mm}{9mm} $p\left(X=x_{i}\right)$&$\dfrac{1}{16}$&$\dfrac{2}{16}$&$\dfrac{2}{16}$&$\dfrac{1}{16}$&$\dfrac{2}{16}$&$\dfrac{2}{16}$&$\dfrac{2}{16}$&$\dfrac{1}{16}$&$\dfrac{2}{16}$&$\dfrac{1}{16}$\\ \hline%
\end{tabularx}
\medskip
	 
	\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	On a E$(X) = 20 \times \dfrac{1}{16}  + 12 \times \dfrac{2}{16} + 5 \times \dfrac{2}{16} + 4 \times \dfrac{1}{16} + 0 \times \dfrac{2}{16} + (-3) \times \dfrac{2}{16} + (-8) \times \dfrac{2}{16} + (-10) \times \dfrac{1}{16} + (-15) \times \dfrac{2}{16} + (-20) \times \dfrac{1}{16} =$
	
$ \dfrac{20 + 24 + 10 +   4 + 0 - 6 - 16 - 10 - 30 - 20}{16} = - \dfrac{24}{16} = - \dfrac{3}{2} = - 1,50$~(\euro).

Cela signifie qu'en moyenne on perd 1,50~\euro{} par partie\ldots 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}  

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie, pour tout nombre réel $x$, par : 
%\[f(x) = \text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x} + 4. \]

%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \OIj{} (unités graphiques : 4~cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées). 

\medskip

\textbf{PARTIE A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ dont on précisera une équation.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$, donc puisque $\text{e}^{2x} = \left(\text{e}^{x} \right)^2$, $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 4$.

Ceci montre que la droite  $D$ d'équation $y = 4$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
		\item %Montrer que pour tout nombre réel $x ~: f(x) = \text{e}^{x} \left(\text{e}^{x}  - 5\right) + 4$. En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty. 
On a vu que $\text{e}^{2x} = \left(\text{e}^{x} \right)^2$, donc en factorisant $\text{e}^{x}$ dans les deux premiers termes :

\[f(x) = \text{e}^{x} \left(\text{e}^{x}  - 5\right) + 4.\]	
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Soit $f'$la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout nombre réel $x$, calculer $f'(x)$.
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$ et pour tout x \in \R,~f'(x) = 2\text{e}^{x} \times \text{e}^{x}  - 5\text{e}^{x} $.		 
%Montrer que pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = \text{e}^{x} \left(2\text{e}^{x}  - 5\right)$. 
En factorisant $\text{e}^{x},~f'(x) = \text{e}^{x} \left(2\text{e}^{x}  - 5\right).$
	\item %Résoudre dans  l'ensemble $\R$ des nombres réels l'équation $2\text{e}^{x} - 5 = 0$.
$2\text{e}^{x} - 5 = 0 \iff \text{e}^{x} = \dfrac{5}{2} \iff x \ln \left(\dfrac{5}{2} \right)$. (par croissance de la fonction ln.) 
		
%Résoudre ensuite dans $\R$ l'inéquation $2\text{e}^{x} - 5 > 0$.
$2\text{e}^{x} - 5 > 0 \iff \text{e}^{x} > \dfrac{5}{2} \iff x > \ln \left(\dfrac{5}{2} \right)$ 
	\item %En déduire les variations de la fonction $f$. Indiquer la valeur exacte de $f\left(\ln \dfrac{1}{2}\right)$.
	La question précédente montre que pour $x > \ln \left(\dfrac{5}{2} \right),~f'(x) > 0$, donc $f$ est croissante.
	
De même pour $x < \ln \left(\dfrac{5}{2} \right),~f'(x) < 0$, donc $f$ est décroissante.
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution sur l'intervalle [1~;~ 2].
Il résulte de la question précédente que $f$ a un minimum pour $x = \ln \left(\dfrac{5}{2}\right)$ qui vaut, sachant que $\text{e}^x = \ln \left(\dfrac{5}{2}\right), f\left[\ln \left(\dfrac{5}{2}\right)\right] = \left[\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{5}{2} - 5\right) \right]  = -\dfrac{25}{4} + 4 = - \dfrac{9}{4}$.

Or $f(1) = \text{e}^2 - 5\text{e} + 4 \approx -2,2 < 0$ et $f(2) = \text{e}^{4} - 5\text{e} + 4 \approx 21,7 >0$.

Dans l'intervalle [1~ ;~2], la fonction $f$ dérivable est croissante et ses valeurs appartiennent à l'intervalle $[f(1)~;~f(2)]$ qui contient $0$.

Il existe donc un réel unique $\alpha \in [1~;~2]$ tel que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne $\alpha \approx 1,39$.
%Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que le point O appartient à la courbe $\mathcal{C}$.
	On a $f(0) = 1^2 - 5 + 4 = 0$, donc O appartient à $\mathcal{C}$ 
	\item  %Déterminer le coefficient directeur de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point O.
	Le coefficient directeur de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point O est le nombre $f'(0)$.
	
	$f'(x) = \text{e}^{x} \left(2\text{e}^{x}  - 5\right) \Rightarrow f'(0) = 1 \times (2 - 5)  = -3$. 
	\end{enumerate}
\item %Tracer dans le repère \Oij{} l'asymptote $D$ la droite $\Delta$ et, sur l'intervalle $[-2,5~;~ 2]$, la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2.4cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3)(2.5,16)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.5,-3)(2.5,16)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=4](0,0)(-2.5,-3)(2.5,16)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=4]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.693147}{0}{2.71828 x exp dup mul 2.71828 x exp 5 mul sub 4 add}
\psline(0,0)(-0.693147,0)(-0.693147,1.75)
}
\uput[d](2.4,0){$x$}\uput[r](0,15){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.5}{1.9}{2.71828 x exp dup mul 2.71828 x exp 5 mul sub 4 add}
\psplot{-2.5}{1}{3 neg x mul}
\uput[r](1.5,2){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](-2.6,5.5){$D$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
 \medskip

\textbf{PARTIE B : Calcul d'aire }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  +%Quel est le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\ln \dfrac{1}{2}~ ;~ 0 \right]$ ?
Sur l'intervalle $\left[\ln \dfrac{1}{2}~ ;~ 0 \right]$ on a vu que $f(x) \geqslant f(0)$ car $f$ est décroissante ; or $f(0) = 0$ : la fonction est donc positive sur cet intervalle.
\item  %Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur  $\R$.
Une primitive de $f$ sur $\R$ est $F$ telle que :

$F(x)  = \dfrac{1}{2}\text \leqslant \text{e}^{2x} - 5\text{e}^x + 4x$. 
\item %Soit $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$,  la droite d'équation 

%$x = \ln \dfrac{1}{2}$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur  le graphique précédent.
		Cf. figure 
	\item %Calculer l'aire exacte du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$, puis donner une valeur approchée au centième de cette aire.
	On a vu que sur $\left[\ln \dfrac{1}{2}~ ;~ 0 \right],~f(x) \geqslant 0$. Donc l'aire $\mathcal{A}$ en unités d'aire de la surface du domaine $\mathcal{D}$ est égale à l'intégrale 
	
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{\ln \frac{1}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x)  \right]_{\ln \frac{1}{2}}^0 = F(0) - F\left(\ln \frac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2} - 5 -\left(\frac{1}{2}\text{e}^{2\ln \frac{1}{2}} - 5\text{e}^{\ln \frac{1}{2}} + 4\ln \frac{1}{2}\right) = - \dfrac{9}{2} - \left(\dfrac{1}{8} - \dfrac{5}{2} - 4\ln 2 \right) = - \dfrac{19}{8} + 4\ln 2$.	$\left(\text{car}~ \text{e}^{2\ln \frac{1}{2}} = \text{e}^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)^2} = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}\right)$

Or une unité d'aire est égale à $4 \times 1 = 4$~cm$^2.

$\mathcal{A} = 4\left(- \dfrac{19}{8} - 4\ln 2 \right) = - \dfrac{19}{2}+ 16\ln 2$~cm$^2$.

La calculatrice donne : $\mathcal{A} \approx 2,590 \approx 2,59$~cm$^2$.
$ 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}