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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, génie électrotechnique, génie optique}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie novembre
 2008~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}\end{center}
\vspace{0,25cm}
\emph{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même  temps que le sujet.}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

On désigne par i est le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$

\[z^2 - 10z + 41 = 0.\]

\item  Pour tout nombre complexe $z$ on pose

\[P(z) = z^3 - 7z^2 + 11z + 123.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(-3)$.
		\item Vérifier que
\[P(z) = (z + 3)\left(z^2 - 10z + 41\right).\]

		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$

\[P(z) = 0.\]
	\end{enumerate}
\item Soit I, A, B et C les points d'affixes respectives :

\begin{center}
		
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{X}}
$z_{\text{I}} = 2$ & $z_{\text{A}} = -3$&$z_{\text{B}} = 5 + 4\text{i}$& $z_{\text{C}} = 5 - 4\text{i}$\\
\end{tabularx}

\end{center}
		
Soit $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2| =  5$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que les points A, B et C sont dans l'ensemble $\mathcal{C}$. 
		\item  Placer les quatre points A, B, C et I dans le plan. 
		\item  Montrer que l'ensemble $\mathcal{C}$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item  Représenter l'ensemble $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}		 
\item Soit $\mathcal{R}$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe

	\[z' = 	z \times \text{e}^{- \frac{\pi}{4}\text{i}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner les éléments caractéristiques de la transformation $\mathcal{R}$.
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
Quelle est la nature de l'ensemble $\mathcal{C}'$, image du cercle $\mathcal{C}$ par la transformation $\mathcal{R}$.
		
Justifier la réponse et représenter l'ensemble $\mathcal{C}'$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Un jeu consiste à miser d'abord $q$ euros, puis à appuyer sur un bouton. Une case de couleur s'allume alors au hasard sur le tableau ci-dessous ; à chaque jeu, chaque case a la même probabilité de s'allumer.

\medskip

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
R&R&R&R&R&R\\ \hline
R&J&B&B&J&R\\ \hline
R&B&V&V&B&R\\ \hline
R&J&B&B&J&R\\ \hline
R&R&R&R&R&R\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\medskip

On convient que :

R désigne la couleur rouge

J la couleur jaune

B la couleur blanche

V la couleur verte.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si une case rouge s'allume, l'organisateur du jeu ne rend rien au joueur.
\item[$\bullet~$] Si une case blanche s'allume, l'organisateur du jeu rend la mise de $q$ euros au joueur.
\item[$\bullet~$] Si une case jaune s'allume, l'organisateur du jeu donne 5~euros au joueur.
\item[$\bullet~$] Si une case verte s'allume, l'organisateur du jeu donne 8~euros au joueur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item On considère dans cette question que $q = 1$. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain relatif du joueur, obtenu en tenant compte de la mise initiale.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que les valeurs prises par $X$ sont $\{-1~; ~0~;~ 4~;~ 7\}$.
		\item  Montrer que la probabilité pour que le gain relatif du joueur soit égal à 4 est :

\[P(X = 4) = \dfrac{2}{15}\]

		\item  Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ à l'aide d'un tableau.
	\end{enumerate}
\item	On considère dans cette question que $q$ est un nombre positif quelconque.
 
Quelle devrait être la mise $q$ pour que le jeu soit équitable ? 
 
\emph{Toute justification ou toute explication, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie I  : étude d'une fonction auxiliaire}

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = 1- \ln x + 2x^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que

\[g'(x) = \dfrac{ (2x + 1)(2x - 1)}{x}.\]

\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Calculer $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ (sans les limites).

\item En déduire que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,~ g(x)$ est strictement positif.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + 2x - 3.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en $0$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.
\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ et démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 3$ est
asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
\item 	Montrer que pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item 	Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item 	Soit A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse e et B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs arrondies au centième des coordonnées des points A et B. 
		\item  En déduire que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[\sqrt{\text{e}}~;~ \text{e}]$.
 	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$. Placer les points A et B.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer qu'au point A, la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente parallèle à la droite $\Delta$. 
		\item  Le point A est-il le seul point de la courbe $\mathcal{C}$ admettant une tangente parallèle à la droite $\Delta$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip		
		
\textbf{Partie III calcul d'aire}

\begin{enumerate}
\item Soit K la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[K(x)  = \dfrac{1}{2}	(\ln x)^2.\]

On note $K'$ la fonction dérivée de la fonction $K$. Calculer $K'(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.

\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \sqrt{\text{e}}$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unité d'aire.
		\item 	Donner une valeur approchée au mm$^2$ près de l'aire $\mathcal{A}$.
		\item 	Retrouver une valeur approximative de ce résultat en calculant l'aire en mm$^2 $ d'un trapèze à préciser.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}