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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI
Génie électronique}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ Baccalauréat STI Antilles-Guyane 20 juin 2012\\[5pt]
Génie électronique, électrotechnique \& optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\smallskip

Le plan est muni du repère orthonormal \Ouv.

\smallskip

On désigne par $\text{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\smallskip

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=3-\text{i}\sqrt{3}$ et $z_B=\e^{\i\frac{\pi}{4}}z_A$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Recopier et compléter la phrase suivante:
\begin{center}
\og Le point $B$ est l'image du point $A$ par \ldots\ldots de centre \ldots\ldots et \ldots\ldots $\dfrac{\pi}{4}$.
\end{center}
\item Que peut-on en déduire pour la nature du triangle $OAB$~? Justifier.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
Donner la forme algébrique de $\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
\item Vérifier que \[
z_B = \dfrac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}{2}+ \text{i}\dfrac{\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{2}.
\]
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Déterminer la forme trigonométrique de $z_A$.
\item Vérifier que $z_B = 2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$.
\end{enumerate}
\item À l'aide des questions 2. et 3. donner la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%: Ex 2 5 points
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 

\smallskip


Un joueur participe à un jeu de hasard où il lance plusieurs fois une pièce de monnaie. Pour gagner, le joueur doit obtenir pile à tous ses lancers. Le nombre de lancers est fixé au début de chaque partie.\\
La pièce de monnaie utilisée est parfaitement équilibrée, de sorte qu'à chaque fois qu'elle est lancée, la probabilité d'obtenir pile est égale à la probabilité d'obtenir face.

\begin{enumerate}
\item
Dans cette question, la pièce est lancée deux fois.

Les issues de cette expérience sont représentées par l'arbre ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{p{2cm}p{2cm}c p{2cm} c}
 & premier & & second\\
 & lancer   &  & lancer \\[2ex]
 & &  & \rnode{b}{pile}\\
 & \rnode{a}{pile} & & \\
 & & & \rnode{c}{face}\\
 \rnode{o}{} & & & \\
 & &  & \rnode{B}{pile}\\
 & \rnode{A}{face} & & \\
 & & & \rnode{C}{face}\\
 \end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{a}{c}
\ncline[nodesep=3pt]{A}{B}
\ncline[nodesep=3pt]{A}{C}
\ncline[nodesep=3pt]{o}{a}
\ncline[nodesep=3pt]{o}{A}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item
Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
\item On considère l'évènement $A$ : \og les résultats des deux lancers sont identiques\fg.

Quelle est la probabilité de l'évènement $A$~?
\item On considère l'évènement $B$ : \og le résultat face a été obtenu au moins une fois\fg.

Décrire par une phrase l'évènement $\overline{B}$, évènement contraire de l'évènement $B$.

En déduire la probabilité de l'évènement $B$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, la pièce est lancée trois fois.

Le joueur gagne 100 euros s'il obtient trois fois pile. Si le joueur n'obtient pas trois fois pile, il perd 1 euro. Soit $X$ la variable aléatoire prenant la valeur 100 si le joueur gagne et la valeur $-1$ si le joueur perd.
\begin{enumerate}
\item
Représenter à l'aide d'un arbre les issues de cette expérience aléatoire.
\item Donner la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.

Le jeu est-il favorable au joueur ?
\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Dans cette question, la pièce est lancée $n$ fois, $n$ étant un nombre entier naturel non nul.

Le joueur gagne 100 euros s'il obtient $n$ fois pile; sinon le joueur perd 1 euro. Soit $Y_n$ la variable aléatoire prenant la valeur 100 si le joueur gagne et la valeur $-1$ si le joueur perd.

L'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_n$ est notée $E(Y_n)$.

On admet que la probabilité que $Y_n$ prenne la valeur 100 vaut $\dfrac{1}{2^n}$.
\begin{enumerate}
\item
Déterminer $E(Y_n)$, en fonction de $n$.
\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $E(Y_n)<0$.
\item Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}
 
\smallskip

\textbf{Partie A : signe d'une fonction}

\parbox{0.48\linewidth}{
La parabole $\mathcal{P}$ ci-contre est la représentation graphique de la fonction polynôme $t$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[t(x) = ax^2 + bx + c\]

où $a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{center}
\psset{unit=0.85cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(6,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\rput{-180}(0.5,4){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.75}{1.75}{x^2/2/0.13}}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

Le point $S\left(\dfrac12~;~4\right)$ est le sommet de la parabole $\mathcal{P}$.

Le point $A(0~;~3)$ appartient à la parabole $\mathcal{P}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
Justifier que $c=3$.
\item Justifier que $t\left(\dfrac12\right)=4$ et en déduire une relation entre $a$ et $b$.
\item Soit $t'$ la fonction dérivée de la fonction $t$ sur $\R$.

Justifier que $t'\left(\dfrac12\right)=0$ et en déduire une seconde relation entre $a$ et $b$.
\item Montrer que les questions 2. et 3. conduisent au système $(S)$: $\left\{\begin{array}{rcl} a+b&=&0\\a+2b&=&4\end{array}\right.$

Résoudre le système $(S)$. En déduire une écriture de la fonction $t$.
\item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par:

\[g(x) = (2x + 1)(3 - 2x)\e^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a: $g(x) = t(x)\e^{-x}$.
\item Déterminer le signe de la fonction $g$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction $f$}

\smallskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (4x^2 + 4x + 1)\text{e}^{-x}$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on pourra utiliser que pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) = \dfrac{4x^2}{\text{e}^x} + \dfrac{4x}{\text{e}^x} + \dfrac{1}{\e^x}$).

En déduire l'existence d'une asymptote  à la courbe $\mathcal{C}_f$ ; on précisera de quelle droite il s'agit.
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.

Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a: $f'(x) = g(x)$, où $g$ désigne la fonction définie à la question 5 de la partie A.

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.

En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
\item Construire la courbe $\mathcal{C}_f$ dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique 2~cm.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C : calcul d'aire}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
On admet que la fonction $H$, définie sur $\R$ par $H(x) = (- 4x^2 - 12x - 12)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = (4x^2 + 2x)\text{e}^{-x}$.

En remarquant que pour tout réel $x$, on a $f(x) = h(x) + \text{e}^{-x}$, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
\item On appelle $\mathcal{D}$ la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item
Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique.
		\item Calculer la valeur exacte en cm\up{2} de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}