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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique (A et F)}%
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Antilles juin 2000~\decofourright\\
[4pt]Génie civil, énergétique, mécanique (A et F) } 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Chacun des $150$ élèves des classes de terminales STI d'un lycée ayant effectué un stage en entreprise a rédigé un rapport de stage.

Pour rendre ce rapport de stage le plus lisible et le plus attractif
 possible :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $115$ élèves ont utilisé un traitement de textes ;
\item[$\bullet~$] $100$ élèves ont utilisé un tableur ;
\item[$\bullet~$] $75$ élèves ont utilisé à la fois un traitement de textes et un tableur.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre d'élèves	&ayant utilisé un traitement de textes&n'ayant pas utilisé un traitement de textes&Total\\ \hline
ayant utilisé un tableur&75	&	&100\\ \hline
n'ayant pas utilisé de tableur	& & & \\\hline
Total 			&115 & 	&150\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Un professeur étudie un des $150$ rapports de stage choisi au hasard. On
suppose que chaque rapport de stage a la même probabilité d'être ainsi choisi.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants

A : \og l'élève ayant rédigé ce rapport de stage n'a pas utilisé de tableur \fg{} ;

B : \og l'élève ayant rédigé ce rapport de stage a utilisé un traitement de textes mais pas de tableur \fg{} ;

C : \og l'élève ayant rédigé ce rapport de stage n'a utilisé ni un traitement de textes, ni un tableur \fg. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité $1$~cm.\\
 i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ ; on rappelle que $\text{i}^2 = - 1$.\\
On considère les points A(4 ; 0) et C$\left(-2\sqrt{3}~ ;~ 
-2\right)$ d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 4$ et $z_{\text{C}} = - 
2\sqrt{3} - 2\text{i}$, et les points B et D d'affixes respectives 
$z_{\text{B}} = \text{i}z_{\text{A}}$ et \\$z_{\text{D}} = \text{i}z_{\text{C}}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$.
		\item En déduire les modules des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et 
$z_{\text{D}}$.
		\item Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que les coordonnées de B et D sont 
respectivement (0 ; 4) et $\left(2~;~-2\sqrt{3}\right)$.
		\item Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles. 
		\item Montrer que les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le but du problème est d'étudier la position relative d'une courbe et d'une
 tangente à cette courbe en un point, et de calculer l'aire d'un domaine plan.
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unités graphiques
$2$~cm.

\bigskip

Sur la figure ci-après a été tracée la courbe représentative 
$\mathcal{C}$ de la fonction $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle
]0~;~6] par :

\[f(x) =	\dfrac{x + 2}{x} + \ln x.\]

\begin{center}
\textbf{Partie A - étude de la fonction} \boldmath $f$ 
\unboldmath 
\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur ]0~;~6] par :

\[f(x) = \dfrac{x + 2}{x} + \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $f$ en zéro. On pourra 
mettre $f(x)$ sous la forme :

\[f(x) = \dfrac{x + 2 + x\ln x}{x}.\]

\medskip

\item Calculer $(1),~ f(2),~ f(\text{e}),~ f(4)$ et $f(6)$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ dans l'intervalle 
]0 ; 6], on a :

\[f'(x) = \dfrac{x - 2}{x^2}.\]

		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur ]0~;~6].
		\item Établir le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~6].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie B - Position de la courbe par rapport à une
 tangente} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Montrer qu'une équation de la tangente T à la 
courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 4 est :

\[y = \dfrac{x}{8} + 1 + \ln 4.\]
	
\item On considère la fonction $g$ définie sur ]0~;~6] par :

\[g(x) = f(x) - \left(\dfrac{x}{8}+ 1 + \ln 4\right).\]

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour tout $x$ de ]0~;~6] : $g(x) = \ln 
x -\ln 4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{x}{8}$.
		\item Montrer que pour tout $x$ de ]0~;~6] : $g'(x) =\dfrac{- x^2 + 8x 
- 16}{8x^2}$.
		\item Déterminer le signe de $g'(x)$ sur ]0~;~6].
		\item Préciser le sens de variation de $g$ sur ]0~;~6] (on ne demande pas les limites aux bornes du domaine de définition).
		\item Calculer $g(4)$ et en déduire le signe de $g$ sur ]0~;~6].
	\end{enumerate}
\item En déduire la position relative de $\mathcal{C}$ et T.
\item Tracer la droite T dans le repère \Oij{} de la figure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Partie C - Calcul d'une aire} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Soit la fonction $H$ définie sur ]0 ; 6] par : 

\[H(x) = (2 + x) \ln x.\]

Calculer $H'(x)$.

\medskip

\item On considère la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, 
l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. On
 appelle $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, de cette partie du plan.
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer cette partie sur la figure.
		\item Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis sa valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut.

\vspace{1cm}

\begin{center} 
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(6.5,6.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6.5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.327}{6}{x 2 add x div x ln add}
\end{pspicture} 
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}