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\begin{document}
\lhead{\small{Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil~\decofourright\\[4pt] La Réunion juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

Une urne contient six billets numérotés de 1 à 6.

On tire au hasard deux billets successivement et sans remise. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chaque tirage peut être modélisé par un couple $(a~;~ b)$ de deux nombres distincts. Par exemple le tirage du billet numéroté 3 suivi du billet numéroté 5 sera noté (3 ; 5). 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il y a 30 couples possibles. 
		\item Soit A l'évènement : \og les deux numéros tirés sont pairs \fg{}.

Vérifier que la probabilité de A est égale à $\dfrac{1}{5}$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement B : \og au moins l'un des numéros est impair \fg{}.
	\end{enumerate}
\item Soit $D$ la variable aléatoire, qui à chaque tirage associe la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres du couple. Ainsi au couple (3 ; 5) comme au couple (5 ; 3) la variable aléatoire $D$ associe le réel 5 - 3 = 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire $D$ ? 
		\item Calculer les probabilités $P(D = 1)$ et $P(D = 3)$. 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $D$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle (E) : $y'' + 9y = 0$, où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Résoudre l'équation différentielle (E).
\item	La courbe $\mathcal{C}$, donnée ci-dessous, représente une solution particulière notée $f$ de l'équation différentielle (E). La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(0 ; 1) et le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$ est égal à $- 3\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item En déduire les valeurs exactes de $f(0)$ et de $f'(0)$.
		\item Déterminer cette solution particulière $f$.
		\item Vérifier que, pour tout réel $x,~ f(x) = 2\cos \left(3x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que	$\dfrac{7\pi}{18}$ et $\dfrac{13\pi}{18}$	sont deux solutions de l'équation, d'inconnue $x,~ f(x) = 0$.

Déterminer deux autres solutions de cette équation.
		\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{7\pi}{18}~;~\dfrac{13\pi}{18}\right]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{unit=1.714cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4](0,0)(-3.,-2.)(3.,2.)
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\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 180 mul 3.14159265 div 3 mul 60 add cos 2 mul}
\uput[u](3,0){$x$} \uput[r](0,2){$y$} 
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  12 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 4 - \text{e}^{-x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 4 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ et donner son équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et justifier son signe sur $\R$.
		\item Donner le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur $\R$ l'équation d'inconnue $x,\: f(x) =  0$.
		\item Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ dans le repère \Oij{} défini ci-dessus.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Résolution d'une équation}

\medskip

Soit (E) l'équation d'inconnue réelle $x : f(x) = 2x + 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $x =  0$ est une solution de (E).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $D$ d'équation $y = 2x  + 3$ sur le même graphique que la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Justifier graphiquement l'existence d'une deuxième solution notée $\alpha$ de l'équation (E).

Placer $\alpha$ sur l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer le domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \alpha$ et $x = 0$. On appelle $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de ce domaine plan.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $\mathcal{A} = 8 \displaystyle\int_{\alpha}^0 f(x)\,\text{d}x$.
		\item Calculer $\mathcal{A}$ en fonction de $\alpha$.
		\item En utilisant l'équation (E) de la \textbf{partie B}, justifier que $\text{e}^{-\alpha} = 1 - 2\alpha$. 

En déduire que $\mathcal{A} = - 16\alpha$.
		\item à l'aide du résultat obtenu dans la \textbf{partie B}, déterminer une valeur de $\mathcal{A}$ arrondie au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 