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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie civil,  énergétique,  mécanique (A et F)}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2001}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2001~\decofourright\\Génie civil,  énergétique,  mécanique (A et F) } \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On dispose de deux urnes U$_1$ et U$_2$.

L'urne U$_1$ contient 4 boules rouges portant respectivement les numéros  0, 1, 2, 4 et l'urne U$_2$ contient $3$ boules vertes portant respectivement les numéros 1, 3, 5.

On tire au hasard et simultanément une boule de l'urne U$_1$ et une boule de l'urne U$_2$.

$\bullet~ a$ désigne le numéro de la boule tirée de U$_1$ et $b$ celui de la boule tirée de U$_2$.

$\bullet~ z$ est le nombre complexe dont la partie réelle est $a$ et la partie imaginaire $b$.

On suppose que les écritures algébriques $z = a + \text{i}b$ possibles sont équiprobables.

\textbf{Les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles.}

\begin{enumerate}
\item	Dresser une liste de toutes les écritures algébriques possibles de $z$.
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item E$_1$ : \og  $z = 1 + 3\text{i}$ \fg{},
		\item E$_2$ : \og $z + \overline{z} = 2$ \fg{}.
\end{enumerate}
\item On désigne par A l'évènement \og le module de $z$ est 5 \fg{}, et par B l'évènement \og $z$ est un imaginaire pur \fg{}.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement A puis celle de l'évènement B.
		\item Définir par une phrase l'évènement A $\cap$ B.

Calculer la probabilité de cet évènement.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement A $\cup$ B.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, 
associe $a + b$.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On appelle $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0~;~ 1]$ par :

\[f(x) = \text{e}^x - 1.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté  à un repère orthonormal \Oij{~} ; unité graphique $10$~cm.

\begin{enumerate}
\item Représenter la courbe ($\mathcal{C}$).
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer $\displaystyle\int_0^1 
f(x)\:\text{d}x$.
		\item En déduire que la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle $[0~; ~1]$ est égale à $\text{e} - 2$.

Donner l'arrondi au centième de $\mu$.

On désigne par ($\mathcal{P}$) la partie du plan limitée par la courbe
 ($\mathcal{C}$), l'axe  des abscisses et la droite d'équation $x = 1$, et par
 ($\mathcal{R}$) la partie du plan limitée par la droite d'équation $y = 
 \mu$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =1$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Représenter ($\mathcal{P}$) et ($\mathcal{R}$) en utilisant des hachures.
		\item Justifier le fait que ($\mathcal{P}$) et ($\mathcal{R}$) ont la même aire.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $V_1$ le volume, exprimé en unités de volume, du solide  engendré par la rotation de la partie ($\mathcal{P}$) autour de l'axe des abscisses et par $V_2$ celui du solide engendré parla rotation de la partie ($\mathcal{R}$)  autour du même axe.

\[\left(\text{On rappelle que}~  V_1 = \displaystyle\int_0^1 [f(x)]^2 
\:\text{d}x\right).\]

On se propose de comparer $V_1$ et $V_2$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $V_1$.
		\item Calculer la valeur exacte de $V_2$.
		\item Calculer la valeur exacte de $V_1 - V_2$ puis donner un arrondi au millième.

Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction}

On considère la fonction $\varphi$, définie sur l'intervalle $]- 1~;~ + 
\infty[$ par :
 
\[\varphi(x) = a - (bx + 1)\ln (x + 1),\]
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

La courbe $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$, représentative de la fonction  $\varphi$, satisfait aux conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ passe par le point A de coordonnées  $(0~;~\text{e})$,
\item[$\bullet~$]  $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ passe parle point B de coordonnées  $(\text{e} - 1~;~ 0)$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ puis $b$.
\item En déduire $\varphi(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :  étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x)  = \text{e} - (x + 1)\ln (x + 1).\]

On désigne par $(\mathcal{C}_{f})$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item Démontrer que la limite de $f$ en $- 1$ est égale à e. (On admettra  que
		 
$\displaystyle\lim_{x \to 0} X \ln X = 0$).
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Démontrer, en la résolvant, que l'équation $f'(x) =  0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans 
l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$.

Donner une valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ 
de  $\alpha$.
		\item Étudier le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$.
		\item Calculer la valeur exacte de $f(\alpha)$ et sa valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Calculer les coefficients directeurs des tangentes (T$_1$) et (T$_2$) à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ aux points d'abscisses respectives $0$ et $\text{e} - 1$.
		\item Tracer les tangentes (T$_1$) et (T$_2$) et la courbe $(\mathcal{C}_{f})$. (Unité graphique : $5$~centimètres).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\begin{enumerate}
\item	Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle 
$]-1~;~+ \infty[$ par : 

\[G(x) = \dfrac{1}{4}(x +1)^2[2\ln (x+1) - 1].\]

Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction qui, à $x$ associe $(x + 1)~\ln (x +1)$.

En déduire une primitive $F$ de $f$.
\item On désigne par ($\mathcal{P}$) la partie du plan délimitée par l'axe des  abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $(\mathcal{C}_{f})$.
	\begin{enumerate}
		 \item Représenter ($\mathcal{P}$) sur la figure précédente en utilisant des hachures.
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire de la partie hachurée, en cm$^2$.
		
Donner sa valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}