\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil  Métropole septembre 2009~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Ceci est un QCM.} Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C, ou D est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
  
On ne demande \emph{aucune justification.}
 
\textbf{NOTATION :} \emph{Chaque réponse juste rapporte un point, une réponse fausse coûte $0,25$ point. Une absence de réponse ne rapporte ni ne coûte de point.\\ 
Si la note globale de l'exercice est négative, elle est ramenée à zéro.}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

\[f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right).\]

\begin{enumerate}
\item  $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :

\medskip

\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{\linewidth}{XX} 
Réponse A : $f(x) = \cos 3x + \sqrt{3} \sin 3x$&Réponse B : $f(x) = \sqrt{3} \cos \dfrac{1}{3}x + \sin \dfrac{1}{3}x$\\
Réponse C : $f(x) = \cos \dfrac{1}{9}x + \sqrt{3}\sin \dfrac{1}{9}x$& Réponse D :  $f(x) = \cos \dfrac{1}{3}x + \sqrt{3} \sin \dfrac{1}{3}x$. \\
\end{tabularx} 
 
\item  $f$ est solution de l'équation différentielle:

\medskip

\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}  
Réponse A : $y''- 9y = 0$ &	Réponse B : $9y'' + y = 0$\\ 
Réponse C: $y'' + 3y = 0$ & Réponse D : $y'' + \dfrac{1}{3}y = 0$.\\
\end{tabularx} 
 
\item  La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ est :

\medskip

\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}  
Réponse A : $\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$ &	Réponse B :  $\dfrac{\sqrt{3}}{2\pi}$& Réponse C: $\dfrac{3}{\pi}$& 	Réponse D : $-\dfrac{\pi}{2}$.\\
\end{tabularx}
  
\item  La solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi ]$ est :

\medskip

\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}  
Réponse A  :  $\dfrac{5\pi}{6}$& Réponse B :$\dfrac{5\pi}{2}$&  Réponse C: $\dfrac{\pi}{6}$&Réponse D : $-\dfrac{\pi}{2}$\\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Dans une usine, le tableau de production de deux chaînes de montage est le suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois& 
Productions mensuelles chaîne A &Productions mensuelles chaîne B& 
\No de rang des productions\\ \hline 
Janvier 2009 	&\np{2056} &\np{1770} &1  \\ \hline%
Février 2009 	&\np{2069} &\np{1805} &2  \\ \hline% 
Mars 2009 		&\np{2082} &\np{1840} &3   \\ \hline%
Avril 2009 		&\np{2095} &\np{1875} &4   \\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip 

Les productions forment des suites arithmétiques.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la raison de la suite pour la chaîne A ? Justifier. 
		\item  Quelle est la raison de la suite pour la chaîne B ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item En supposant que l'une des productions mensuelles de la chaîne B soit \np{2050}, quel serait alors son numéro de rang ? 
\item  Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par A$_{n}$ et B$_{n}$ les productions mensuelles respectives de rang $n$ des chaînes A et B. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer A$_{n}$ en fonction de $n$ et de A$_{1}$. 
		\item Exprimer B$_{n}$ en fonction de $n$ et de B$_{1}$. Retrouver ainsi le résultat de la question 2. 
		\item À partir de quelle date (mois et année), la production de la chaîne B sera-t-elle supérieure ou égale à celle de la chaîne A ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\medskip
 
Les objectifs de ce problème sont:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  l'étude de quelques propriétés d'une fonction $f$ et de sa courbe 
représentative,
\item  un calcul d'aire entre deux courbes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit l'équation différentielle (E) : 	$y' + y = x^2 + x + \text{e}^{-x}$,
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y'$  sa dérivée.
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[f(x) =  (x + k)\text{e}^{-x} + x^2 - x + 1,\]
  
où $k$ désigne une constante réelle.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$. 
\item Montrer que la fonction $f$ est solution de l'équation (E). 
\item Déterminer le réel $k$ pour que $f(0) = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, pour tout nombre réel $x$, par : 

\[f(x) = x\text{e}^{-x} + x^2  - x + 1\quad  \text{et} \quad  g(x) = x^2 - x + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\mathcal{P}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x), \displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$. 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}[f(x) - g(x)]$. Interpréter graphiquement ce dernier résultat. 
		\item Étudier sur $\R$ la position relative des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x)= \text{e}^{-x}(1 - x) + 2x - 1$. 
		\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 0.
	\end{enumerate} 
\item Sur la feuille annexe : 

	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs arrondies au centième. 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le cadre où a déjà été tracée la courbe $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x) = (- x - 1)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^{-x}$. 
\item  Soit A la partie du plan limitée par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \alpha$ où $\alpha$ est un nombre réel supérieur ou égal à 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Colorier la partie A sur la feuille annexe dans le cas particulier où $\alpha = 2$. 
		\item Pour $\alpha \geqslant 2$ quelconque, déterminer l'aire de la partie A en fonction de $\alpha$, en unités d'aire puis en cm$^2$. 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} \left(- \alpha\text{e}^{-\alpha}  - \text{e}^{- \alpha} + 1\right)$.  
		\item  Quelle est la limite de l'aire de A en cm$^2$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$ ?  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE À RENDRE OBLIGATOIREMENT AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-2$	&$-1,5$	&$-1,1$	&$-1$	&$-0,5$	&0	&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3\\ \hline%
$f(x)$	&		&		&		&		&		&	&	&	&	&	&	&\\ \hline%
\end{tabularx}

\vspace{1,5cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-9)(3.5,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](0,0)(-2.5,-9)(3.5,9)
\psaxes[linewidth=1pt,xsubticks=5,ysubticks=10](0,0)(-2.5,-8.9)(3.5,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,xsubticks=5,ysubticks=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.7}{3.75}{x 2 exp x sub 1 add}
\psframe(-2.5,-9)(3.5,9)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}