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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat STI} 
\rhead{\small Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole  juin 2005~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

Le nombre i désigne le nombre complexe de module 
1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer sous forme algébrique le nombre complexe $z_{1}$, vérifiant :
		
\[z_{1}(1+\text{i}) + 3 + \text{i} = 0.\]

		\item Déterminer sous forme algébrique les nombres complexes $z_{2}$ et $z_{3}$ vérifiant le système :
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2z_{2} + z_{3} &=&5\\
z_{2} + 3z_{3}&=& - 10 \text{i}\\
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}
\item Soient A, B et trois points du plan d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3+2\text{i},~ z_{\text{B}} =  -1 - 4\text{i}$ et
$z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer ces trois points dans le plan complexe. 
		\item Calculer, les longueurs AB, BC et CA. 
		\item En déduire la nature du triangle ABC, puis calculer son aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le Comité des fêtes d'un village organise une loterie à l'aide de deux urnes.

L'urne U$_{1}$ contient trois boules rouges notées $R_{1},~ R_{2},~ R_{3}$ et deux boules jaunes notées $J_{1}$ et $J_{2}$.

L'urne U$_{2}$ contient quatre boules bleues notées $B_{1},~ B_{2},~ B_{3},~ B_{4}$ et une boule verte $V$.

Pour participer à cette loterie, un joueur doit d'abord miser 3~\euro. Il tire ensuite au hasard une boule dans U$_{1}$, puis une boule dans U$_{2}$. Les boules sont indiscernables au toucher. On suppose que tous les tirages de couples de boules sont équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide d'un tableau ou d'un arbre montrer qu'il y a 25 couples de boules possibles.
\item  Une boule rouge fait gagner 2~\euro. Une boule jaune fait gagner $3$~\euro. Une boule bleue fait gagner $1$~\euro. La boule verte fait gagner $5$~\euro. À chaque tirage de 2 boules la variable aléatoire X associe le gain finalement réalisé par le joueur. Ainsi, en tenant compté de. la mise de $3$~\euro, le tirage d'une boule rouge et d'une boule verte occasionne finalement un gain de $4$~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
		\item  Démontrer que $P(\text{X} = 5) = \dfrac{2}{25}.$
		\item  Présenter en tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
		\item  Quelle est la probabilité que le gain du joueur ne dépasse pas finalement $1$~\euro{} ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 
		\item Le Comité s'aperçoit que son jeu est déficitaire. Expliquer quelle est, en nombre entier d'euros, la mise minimale qu'il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Comité.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\emph{L'objectif est de déterminer une fonction dont la	représentation graphique est donnée sur la page annexe à joindre à la copie, puis d'étudier certaines propriétés de cette fonction.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Sur la page annexe, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm, la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées A(0 ; 4) et B$(-1,5~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner les valeurs de $f(0)$ et de $f(-1,5)$.
\item  On suppose que pour tout nombre réel $x,~ f(x)$ s'écrit sous la forme suivante :
 
\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x} + 1,~ \text{où}~ a~ \text{et}~ b~ \text{sont deux nombres réels}.\]

Utiliser les résultats de la question \textbf{1.} pour déterminer la valeur des nombres réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans toute la suite du problème on étudie la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f (x) = (2x + 3)\text{e}^{-x} +1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout nombre réel $x :  f(x) = 2\dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{3}{\text{e}^x} + 1$.
		\item  Déterminer alors la limite de $f$  en $+ \infty$.\\
En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ a une asymptote (D) dont on donnera une équation.
		\item  Démontrer que cette asymptote (D) coupe la courbe $\mathcal{C}$ au point B. 
		\item  Étudier, en le justifiant soigneusement, la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite (D).
	\end{enumerate}
\item Prouver que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :

\[f'(x) = (-2x - 1)\text{e}^{-x}.\]

\item Étudier le signe de $f(x)$ sur $\R$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On rappelle que, sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe dans un repère orthonormal d'unité graphique $2$~cm.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point E d'abscisse $(-0~;~5)$.

Tracer sur la feuille annexe la tangente A.

Compléter cette figure en représentant l'asymptote (D) et la tangente (T).

Hachurer la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x =  - 1$ et $x = 0$.
\item  Montrer que la fonction $F$ définie par

\[ F(x) =  (- 2x -  5)\text{e}^{-x} +  x\]
 
est une primitive de la	fonction $f$ sur $\R$.
\item  Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}\textbf{Annexe du problème à  rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(6,5)

\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10,gridwidth=0.5pt,subgriddots=10,subgridwidth=0.4pt](0,0)(-2,-1.5)(6,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-1.5)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psdots(0,4)(-1.5,1)
\uput[ur](0,4){A} \uput[ul](-1.5,1){B} \uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.725}{6}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp div 1 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}