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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2005~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, civil, énergétique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Une feuille de  papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit (E) l'équation différentielle 

\[y' = - \dfrac{1}{a} y\]

où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur $\R$ et $a$ une constante réelle non nulle. Résoudre cette équation.

\medskip

\item Déterminer la solution $p$ de (E) qui vérifie $p(0) = 1$.
\item La pression atmosphérique de l'air (en bar) à l'altitude $x$ (en
mètre) au-dessus du niveau de la mer est donnée par

\[p(x) = \text{e}^{-\frac{x}{a}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la constante $a$ sachant que la pression au sommet de l'Éverest à l'altitude 
		
$x =  \np{8848}$ est de $0,331$ bars.
		
On arrondira $a$ à l'entier le plus proche. 
		\item On prend $a =  \np{8003}$. On mesure, en un lieu, une pression atmosphérique de $0,548$~bars, Calculer l'altitude du lieu.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On désigne pat i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = - 1 - \text{i}, \qquad z_{\text{B}} = 3\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = 7 - \text{i}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.
		\item Placer les points A, B et C dans le plan $\mathcal{P}$.
	 \end{enumerate}
\item Déterminer les longueurs AB, AC, BC et en déduire la nature du triangle ABC.
\item Déterminer l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un carré.
\item Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = 3 - \text{i}$.\\
	On considère l'ensemble (E) des points $M$ de $\mathcal{P}$ dont l'affixe $z$ vérifie

\[|z - (3 - \text{i})[ =  4.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Les points A, B, C et D appartiennent-ils à (E) ? 
		\item Quelle est la nature de (E) ?
		\item Tracer l'ensemble (E).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = \ln x - \dfrac{1}{x^2} + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la dérivée $g'$ de la fonction $g$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$  par

\[g'(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x^3}.\]

		\item  Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$.
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g(1)$. 
		\item  En déduire que $\left\{\begin{array}{l c l}
		g(x) >0& \text{pour}& x > 1\\
		g(x) <0& \text{pour}& 0< x < 1.\\
		\end{array}\right.$
	  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = x \ln x + \dfrac{1}{x}.\]

On appelle $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln (x) = 0$ ; déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ ; en déduire que $\Gamma$ admet une asymptote verticale que l'on précisera. 
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f'(x) =  g(x).\]

		\item  À partir des résultats de la \textbf{partie A} dresser le tableau de variations de $f$.
	 \end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[H(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln x + \ln x - \dfrac{x^2}{4}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Comparer $H'(x)$ et $f(x)$. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item Montrer que $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}^2 + 5}{4}$.
\item  Calculer l'aire exprimée en cm$^2$ de la partie du plan délimitée
 par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation
$x = 1$ et $= \text{e}$.

On donnera la valeur exacte, puis approchée à $1$~mm$^2$ près par
excès.
\end{enumerate}
\end{document}