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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil  Métropole \decofourright\\[5pt]septembre 2008}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

\[ Z^2 + 2Z + 4 = 0.\]

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

La figure sera complétée au fur et à mesure que l'énoncé le demandera.
 
Soit les points A, B et C d'affixes respectives :

\[Z_{\text{A}} =- 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad  Z_{\text{B}} = \overline{Z_{\text{A}}}~~ \text{et}~~Z_{\text{C}} =2.\]

On rappelle que $\overline{Z_{\text{A}}}$ représente le nombre complexe conjugué de $Z_{\text{A}}$.

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le module et un argument du nombre complexe $Z_{\text{A}}$.
		\item  En déduire le module et un argument du nombre complexe $Z_{\text{B}}$.
		\item  Placer les points A, B et C sur la figure.
		\item  Démontrer que le triangle ABC est un triangle équilatéral.
	\end{enumerate}

\item Soit D le point d'affixe $Z_{\text{D}}$ définie par : $Z_{\text{D}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}Z_{\text{B}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture algébrique de $Z_{\text{D}}$.
		\item Placer le point D sur la figure.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère BDAO ? Justifier votre réponse.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
Dans une usine, deux chaînes de montage A et B fabriquent les mêmes types d'objets. La chaîne A en fabrique trois fois plus que la chaîne B. 7\,\% de la production de la chaîne A est défectueuse contre 2\,\% pour la chaîne B.

\medskip

\textbf{Partie I}

\begin{enumerate}
\item  On considère une production de \np{1200}~objets. 

Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
								&chaîne A 	&chaîne B	&	total\\ \hline
nombre d'objets défectueux		&63		&			&  \\ \hline
nombre d'objets non défectueux	&			&			&  \\ \hline
total							&			&			&\np{1200}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On prélève au hasard un objet dans la production de l'usine et on admet que les tirages sont équiprobables.

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité que l'objet prélevé soit à la fois défectueux et produit par la chaîne A.
		\item  Déterminer la probabilité que l'objet prélevé ne soit pas défectueux.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
Un objet défectueux peut présenter 1, 2 ou 3 défauts.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à un objet prélevé au hasard dans la production, associe le nombre de défauts.
 
La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
  
\medskip
  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$x$&	0&	1&	2& 	3\\ \hline
$P(X =  x)$&\np{0,9425}&	\np{0,0318}&$\cdots$&		0,006\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Reproduire sur la copie puis compléter le tableau précédent.
\item  Le prix de vente d'un objet dépend du nombre de défauts qu'il présente :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}  
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
nombre de défauts 		&0	&1	& 2 	&3\\ \hline
prix de vente en \euro	&56	&15	&10	&1\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

Soit $Y$ la variable aléatoire qui,  à un objet prélevé au hasard dans la production, fait correspondre son prix de vente.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
		\item  Calculer l'espérance mathématique de $Y$. Interpréter le résultat obtenu.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip
 
\textbf{Étude de l'énergie fournie par le rayonnement solaire}

\medskip

Le but de ce problème est d'étudier le rayonnement solaire en un point de la surface de la Terre dont la latitude est 45\degres N et l'altitude 900~m.

Dans les questions \textbf{1., 2.} et \textbf{3.}, on étudie le rayonnement solaire un 21~mars ensoleillé sur un plan perpendiculaire au rayonnement solaire d'une surface de 1~m$^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On suppose d'abord que le rayonnement solaire exprimé en W/m$^2$ est donné en fonction de l'inclinaison $\theta$ du soleil ($\theta$ étant exprimé en degrés) par

\[p(\theta)= \np{1230} \text{e}^{\frac{-1}{3,8\sin (\theta + 1,6)}}.\]

On attire l'attention du candidat quant  à l'utilisation de la calculatrice pour ces calculs : dans la formule ci-dessus le sinus porte sur un angle exprimé en degrés.

Compléter le duplicata du tableau 1 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie).
 
\medskip
 
\hspace{-0.9cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{3cm}|*{13}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline  
heure	solaire			&6 h&7 h	&8 h	&9 h&10 h&11 h&12 h&13 h&14 h&15 h&16 h&17 h&18 h\\ \hline
inclinaison $\theta$ du
 soleil (en \degres)	&0	&10,5	&20,7&30&37,7&43&45&43&	37,7&30&20,7&10,5&0\\ \hline
rayonnement so\-laire
$p(\theta)$ (en W/m$^2$)&	&350	&&744&&&856&&&&&&  \\ \hline
\multicolumn{14}{c}{Tableau 1}\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On veut maintenant modéliser l'évolution du rayonnement solaire en fonction de l'heure. 

On définit la variable $t$ comme étant le temps écoulé depuis le lever du soleil, qui se produit à 6~heures. Pour des raisons de symétrie entre le matin et l'après-midi, on se limitera à faire varier $t$ dans l'intervalle [0~;~6], ce qui correspond à des heures solaires variant entre 6~h et 12~h. 

On admet que le rayonnement solaire (en W/m$^2$) peut être exprimé en fonction de $t$ par :
\[f(t) = 856\left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right).\] 

	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le duplicata du tableau 2 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie).
		
\medskip
		
\hspace{-1cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  		
heure	solaire 			&6 h&7 h&8 h&9 h&10 h	&11 h	&12 h\\ \hline
temps $t$ (en heures)		&0	&1	&2	&3	&4		&5		&6\\ \hline
\mbox{rayonnement so-} 
laire $f(t)$ (en W/m$^2$)	&	&	&	&715&		&		&833\\ \hline
\multicolumn{8}{c}{Tableau 2}\\
\end{tabularx}

\medskip

		\item  On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
		
Calculer $f'(t)$ et étudier son signe sur l'intervalle [0~;~6].
		\item  En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
		\item  Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (2~cm pour une unité en abscisse et 1~cm pour 100~unités en ordonnée).
		\item  Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Tracer $\mathcal{T}$ dans le même repère que $\mathcal{C}$.
		\item  Les dernières lignes des tableaux 1 et 2 vous paraissent-elles cohérentes ?
	\end{enumerate}
\item La quantité d'énergie solaire E, exprimée en Wh, reçue au cours de la journée, est donnée par :

\[\text{E} = 2\int_{0}^6 f(t)\:\text{d}t = \np{1712}\int_{0}^6 \left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right)\:\text{d}t.\]
Calculer la valeur exacte de E puis fournir la valeur arrondie à l'unité.

\item On s'intéresse maintenant à l'énergie solaire reçue sur une année.

Un logiciel de météorologie fournit une énergie solaire annuelle égale à \np{1206}~kWh, toujours pour une surface de 1~m$^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que cette valeur correspond environ à 161 journées telles que celle étudiée aux questions \textbf{1., 2.} et \textbf{3.}.
		\item On suppose qu'un dispositif de production d'énergie électrique reçoit l'énergie solaire sur une surface de 1~km$^2$ et qu'il convertit 20\,\% de cette énergie en électricité.
		
Combien d'habitants auraient leur consommation électrique domestique fournie par ce dispositif, sachant qu'un habitant consomme en moyenne 700~kWh/an d'énergie électrique domestique (hors chauffage) ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE RELATIVE AU PROBLÈME}

\medskip

(à rendre avec la copie)

\vspace{3cm}

\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{3cm}|*{13}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline  
heure	solaire			&6 h&7 h	&8 h	&9 h	&10 h	&11 h	&12 h	&13 h&14 h&15 h&16 h&17 h&18 h\\ \hline
inclinaison $\theta$ du
soleil (en \degres)		&0	&10,5	&20,7	&30		&37,7	&43		&45		&43	&37,7&30&20,7&10,5&0\\ \hline
rayonnement solaire	
$p(\theta)$ (en W/m$^2$)&	&350	&		&744	&		&		&856	&	&	&	&		& &  \\ \hline
\multicolumn{14}{c}{Tableau 1}\\
\end{tabularx}


\vspace{3cm}
\hspace{-1cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  		
heure	solaire 			&6 h&7 h	&8 h&9 h	&10 h	&11 h	&12 h\\ \hline
temps $t$ (en heures)		&0	&	1	&2	&3		&4		&5		&6\\ \hline
rayonnement solaire
 $f(t)$ (en W/m$^2$)		&	&		&	&715	&		&		&833\\ \hline
\multicolumn{8}{c}{Tableau 2}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}