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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2008~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

Un jeu est organisé de la manière suivante : le joueur mise 3~\euro, puis fait tourner une roue partagée en 6 secteurs circulaires. Lorsque la roue s'immobilise, un repère situé devant la roue indique le secteur
circulaire désigné. On suppose que la roue est lancée suffisamment vite pour que la position du repère corresponde à un tirage aléatoire ; la probabilité que le repère indique un secteur donné est donc proportionnelle à l'angle au centre de ce secteur.

\medskip

Sur chacun des secteurs circulaires est affichée une somme que le joueur reçoit :

\begin{itemize}
	\item 	le secteur 1 mesure 150\degres{} et indique la somme 0~\euro{} : le joueur ne reçoit rien;
	\item 	le secteur 2 mesure 100\degres{} et affiche 3~\euro{};
	\item 	le secteur 3 mesure 50\degres{} et affiche 4~\euro{};
	\item 	le secteur 4 mesure 35\degres{} et affiche 6~\euro{} ;
	\item 	le secteur 5 mesure 15\degres{} et affiche 10~\euro{};
	\item 	le secteur 6, qui et le dernier, mesure 10\degres{} et affiche 15~\euro{}.
\end{itemize}

On appelle \og gain \fg{} du joueur la somme, positive ou négative, que le joueur obtient après le lancer de la roue : cette somme prend en compte la mise de 3~\euro. Ainsi, par exemple le gain correspondant au secteur 5 est égal à 7~\euro.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$.
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un gain d'au moins 3~\euro{}?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'espérance mathématique de la variable $X$. 		
		\item  Le jeu est-il équitable ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, les cinq premiers secteurs sont inchangés, mais le sixième affiche une somme de $a$~\euro{} où $a$ est un nombre  réel positif. On note encore $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'espérance mathématique de la variable $X$ en fonction du réel $a$.
		\item  Déterminer la valeur de $a$ pour que cette espérance soit nulle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}
	
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

L'unité graphique est 1~cm ; on construira une figure que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note A, B et C les points d'affixes respectives :

\[ a = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}},\:\: b = 5 - 3\text{i} \:\:\text{et}\:\: c = 11 + 4\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Écrire le nombre complexe $a$ sous forme algébrique.
		\item  Placer les points A,  B et C sur la figure.
\end{enumerate}
\item 	Démonter que le triangle ABC est isocèle.

\item 	Soit $z$ un nombre complexe quelconque et $M$ le point du plan d'affixe $z$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation géométrique des nombres $|z - a|$ et $|z - b|$.
		\item Déterminer l'ensemble $\Delta$ des points $M$ du plan tels que l'on ait 
		
$|z - a| = |z - b|.$
		
Tracer cet ensemble $\Delta$ sur la figure,
		\item  On note D le point d'affixe $d =  6 + \text{i}$. Les points C et D appartiennent-ils à l'ensemble $\Delta$ ?
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABD est rectangle.
\item On considère le point H tel que ADBH soit un carré. Déterminer l'affixe $h$ de ce point H.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  12 points}

\medskip
	
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :
 
\[f(x) = 2 - \dfrac{1}{x} - \ln x.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij ; la courbe $\mathcal{C}$ est donnée en annexe.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\item  On rappelle le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to 0}x \ln x = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item  En remarquant que $f(x) = \dfrac{2x - 1 - x \ln x}{x}$ 	déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
		\item  En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ et en donner une équation.
	 \end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ on a : $f'(x) = \dfrac{1 - x}{x^2}$.
		\item  Déterminer le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Indiquer la valeur de l'extremum.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, sur l'intervalle [0,1~;~10], la fonction $f$ s'annule pour deux valeurs exactement. On note $x_{1}$ et $x_{2}$ ces deux valeurs, avec $x_{1} < x_{2}$. 
		\item  Placer $x_{1}$ et $x_{2}$ sur l'axe $\left(\text{O}~  ;~\vect{\imath}\right)$ représenté sur la feuille annexe, et donner les valeurs approchées arrondies au centième de ces deux nombres.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une tangente}

On désigne par $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $2$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer qu'une équation de la droite $\mathcal{T}$ est : $y = - \dfrac{1}{4}x + 2 - \ln 2$.
\item  On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par
\[ h(x) = f(x) - \left(- \dfrac{1}{4}x + 2 - \ln 2\right).\]
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $h'(x)$ et vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, on a : $h'(x) = \dfrac{(x - 2)^2}{4x^2}$.
		\item  En déduire le sens de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item  Calculer $h(2)$ et en déduire le signe de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide des questions précédentes, déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $\mathcal{T}$.
\item Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur la feuille annexe en tenant compte du résultat obtenu dans la question précédente.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $G$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 

\[G(x)= x - x\ln x.\]

Calculer $G'(x)$.
\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$
\item On considère la partie du plan comprise entre les droites d'équation $x = 1$ et $x= 6$ d'une part, entre l'axe horizontal et la courbe $\mathcal{C}$ d'autre part. On note $\mathcal{A}$ l'aire de cette partie de plan, exprimée en unités d'aire.
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer cette partie de plan sur la feuille annexe,
		\item  Donner la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, puis sa valeur arrondie au centième.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe :} tracé de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le repère orthogonal \Oij

\vspace{1cm}

\textbf{Cette feuille est à compléter au fil des questions et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-4)(8,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2](0,0)(0,-4)(8,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
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\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{0.1238}{8}{2 1 x div sub  x ln sub}
\uput[ur](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}