\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{8 juin 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie~\decofourright\\[4pt]8 juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Un établissement scolaire propose à chaque élève des sorties culturelles. Celles-ci sont de trois types : théâtre, sport ou cinéma.

On considère que chaque élève choisit de façon aléatoire deux sorties culturelles. On suppose l'équiprobabilité des choix.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On s'intéresse aux différents choix possibles qui s'offrent à un élève. Ainsi participer à une sortie sport et une sortie théâtre correspond au choix [S ; T]. De même participer à deux sorties cinéma correspond au choix [C ; C]. On ne tient pas compte de l'ordre des sorties. Dresser la liste des six choix possibles.

\item Une sortie théâtre coûte 12 \euro, une sortie sport coûte $8$~\euro et une sortie cinéma coûte 4 \euro. On définit une variable aléatoire $X$ qui, à chaque choix, associe la dépense totale pour l'élève. Ainsi, au choix [S ; T], la variable aléatoire $X$ associe $20$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		\item Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ :

\[\begin{array}{|c|*{5}{p{1.4cm}|}}\hline
x_{i}		& & & & & \\ \hline
P[X=x_{i}]	& & & & & \\ \hline
\end{array}\]

		\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$. Que représente $E(X)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

La figure sera construite sur la copie et complétée au fur et à mesure de la résolution de l'exercice. On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $4$~cm.

Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}}$ de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$,~ B le point d'affixe $z_{\text{B}}$ égale à i et C le point d'affixe $z_{\text{C}}$ égale à 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C (la construction du point A se fera uniquement avec le compas et on laissera apparents les traits de construction sur la copie).
		\item Construire le point $E$ tel que $\vect{\text{O}E} =  \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}}$.
		\item Prouver que le quadrilatère OA$E$B est un losange.
	\end{enumerate}
\item On note $z_{E}$ l'affixe du point $E$. écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous forme algébrique, en déduire que $z_{E} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}\text{i}.$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'application $f$ définie dans $\C$ par $f(z)= \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}z$. Caractériser la transformation
géométrique $r$ associée à $f$.
		\item Le point $E'$ est l'image du point $E$ par la transformation $r$. On note $z_{E'}$ l'affixe du point $E'$.

Sachant qu'un argument de $z_{E}$ est	$\dfrac{5\pi}{12}$	justifier qu'un argument de $z_{E'}$	est	$\dfrac{\pi}{4}$	et construire le point $E'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est tracée dans l'annexe 1 (à remettre avec la copie). Les droites $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de chacune des droites $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}$.
\item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - 1 \atop x > -1} f(x)$  et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction de la \textbf{partie A} est définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{2x}{x+1} - \text{e}^{-x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Retrouver par le calcul $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item Retrouver par le calcul $\displaystyle\lim_{x \to - 1 \atop x > -1} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, déterminer $f'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $]- 1 ;  + \infty[$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle.
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse zéro ; tracer cette tangente $T$ sur l'annexe 1 (à remettre avec la copie).
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet dans l'intervalle [0 ;  1] une solution unique $\alpha$ et donner une valeur du nombre réel $\alpha$, arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ on a : 

\[f(x) = 2 - \dfrac{2}{x+1} - \text{e}^{-x}.\]
	
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$.
\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à $10^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{document} 