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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat STI }
\rhead{\small Génie mécanique, génie mécanique, génie des matériaux }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie des matériaux Métropole~\decofourright\\[4pt] juin 2005}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Tous les résultats demandés seront justifiés.

Soit le nombre complexe $z_{1} = 3\left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i} \sin \dfrac{\pi}{6}\right)$. On pose :

$z_{2} = \overline{z_{1}}$, où	$\overline{z_{1}}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z_{1}$,

$z_{3} = - z_{1}$ ,

$z_{4} = z_{1}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique des nombres complexe $z_{1},~z_{2}$ et $z_{3}$.
\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{2}$ et $z_{3}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z_{4} = 3\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$
		\item En déduire le module et un argument du nombre complexe $z_{4}$.
		\item Quelle est la forme algébrique de $z_{4}$ ?
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (Unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2},~z_{3}$ et $z_{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
		\item Construire les points A, B, C et D en utilisant leurs ordonnées.
		\item Calculer les distances AC et BD.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $9 y'' + y = 0$.
\item Déterminer la solution $f$ de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0) &=&\sqrt{3}\\
f'(0) & = & - \dfrac{1}{3}\\
\end{array}\right.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on peut écrire : $f (x) = 2\cos\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{6}\right)$. 
		\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation $f(x) = - \sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$, par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + \text{e}^x - 2x.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (Unité graphique $2$~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comportement de $f$ en $- \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y= - 2x$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item Comportement de $f$ en $+ \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ différent de $0$, on peut écrire :

\[f(x) x\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{2x} + \dfrac{\text{e}^x}{x} - 2\right).\]
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que l'on a pour tout nombre réel $x, $

\[f'(x) = \left(\text{e}^x + 2\right)\left(\text{e}^x - 1\right).\]
 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$, lorsque $x$ décrit l'ensemble des nombres réels.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\item Calcul d'une aire.

Soit $\alpha$ un nombre réel strictement négatif.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\mathcal{H}$ du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = \alpha$ et $x = 0$.
		\item Calculer, en fonction de $\alpha$ et en unités d'aire la valeur de l'aire de la partie $\mathcal{H}$, que l'on notera $\mathcal{A}(\alpha)$.
		\item Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $- \infty$. Interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}
\end{document} 