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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique}
\rhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2005~\decofourright\\[4pt] Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation suivante :

\[ 2x^2 - 3x - 2 =  0.\]

\item  En déduire les solutions dans l'ensemble des nombres réels
des équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $2\sin x ^2 - 3\sin x - 2 = 0$.
		\item $2\text{e}^{2x} - 3 \text{ê}^x  - 2 =0.$
		\item $\ln x + \ln \left(x - \dfrac{3}{2}\right) =  0$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.	
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip
 
On désigne par I l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$.

Soit $\Gamma$ la représentation graphique dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $6$~cm), de la fonction $f$ définie, pour tout nombre réel de I, par :

\[ f(x) = \cos 3x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Déterminer le tableau de variations de $f$ sur I.
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient directeur de chacune des tangentes à $\Gamma$ aux points d'abscisses $- \dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$.
		\item  Dans le repère \Oij, tracer les tangentes à $\Gamma$ aux points
d'abscisses $- \dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$, puis tracer $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'aire de la partie (S) du plan comprise entre $\Gamma$
et l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points} 

\bigskip

\textbf{A.}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel
$x$ de $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$, tel, par :

\[f(x) =  \ln [h(x)] = \ln \left(\dfrac{2x - 1}{2x + 1} \right)\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $2$~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude du comportement de $f$ en $\dfrac{1}{2}.$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h\left(\dfrac{1}{2}\right)$.	
		\item Déterminer la limite de $f$ en $\dfrac{1}{2}$.
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
	 \end{enumerate}
\item étude du comportement de $f$ en $+ \infty$ :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $h$ en $\infty$	
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.	
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	 \end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$ :
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$

\[f(x) = \ln (2x - 1)  - \ln (2x + 1).\]
	
		\item En déduire la fonction dérivée $f'$ de $f$.
		\item Étudier le signe de $f'$ sur $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$.	
		\item Établir le tableau de variations de $f$ sur $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$.
	 \end{enumerate}	
\item Dans le repère \Oij, tracer $\Delta$, puis la courbe $\mathcal{C}$ sur
$ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$. On placera l'origine du repère au centre de la feuille).
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{B.}

\medskip

Soit $G$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel
$x$ de $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$ par :

\[G(x) = (2x- 1) \ln (2x- 1) - (2x + 1) \ln (2x +  1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la fonction dérivée $G'$ de $G$, pour tout nombre
réel $x$ de $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$.
\item  En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$, pour tout
nombre réel $x$ de $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$.
\item  Calculer, en unités d'aires, l'aire de la partie du plan limitée
par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.

Donner la valeur exacte de cette aire en cm$^2$, puis sa valeur
décimale arrondie au mm$^2$ près.
\end{enumerate}
\end{document}