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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie~\decofourright\\[5pt]juin 2008}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$

\[z^2  + 2z + 2 = 0.\]

\item  Soient A et C deux points du plan complexe, d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \right) + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \right)\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module de $z_{\text{A}}$ et le module de $z_{\text{C}}$.
		\item  Donner un argument de $z_{\text{A}}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  On pose $Z = \dfrac{z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}}$. Démontrer que  $Z = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$. 	
		\item  Démontrer que $Z = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$.
		\item  En déduire que le point C est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$ (en radian).
	\end{enumerate}
\item Placer le point A puis construire le point C en utilisant le résultat de la question précédente. Décrire la construction.

\emph{Toute rédaction, même partielle, sera prise en
compte dans l'évaluation.}

\item Soit B l'image du point O par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$.

Construire le point B et démontrer que OCAB est un losange.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

Un professeur d'une classe de terminale S. T. I.  donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et propose deux réponses par question : l'une juste et l'autre fausse.

\medskip

On désigne par J une réponse juste et par F une réponse fausse.

On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse. À chaque élève, on associe le résultat de son interrogation, sous la forme d'un
triplet constitué des réponses données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la première, faux à la deuxième et à la troisième, on lui associera le résultat (J, F, F).

\medskip

\textbf{I}	Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles ?

\medskip

 \textbf{II} On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendante pour chacune d'elles. Le professeur fait l'hypothèse d'équiprobrabilité des résultats.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la probabilité de l'évènement $A$ \og le résultat contient exactement une réponse juste \fg{} est égale à $\dfrac{3}{8}.$
\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $B$ \og le résultat contient au moins une réponse juste. \fg{}
\item  Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et 0 point pour une réponse fausse.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante :  il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,25 point pour une réponse fausse.

Si le total des points ainsi obtenu est négatif, la note attribuée est $0$.
	
\medskip
	
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. Calculer l'espérance mathématique E($Y$) de $Y$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} 

\medskip

\textbf{PARTIE A - Étude de la représentation graphique d'une fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

On donne sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction $f$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

Le plan est muni du repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $1,5$~cm en abscisse et $1$~cm en ordonnée.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\ln 2$.

La droite d'équation $y =  6$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $-\infty$.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente de coefficient directeur $-2$ au point A(0 ; 3).
 
Par lecture graphique et en utilisant les informations ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs $f(\ln 2)$ et $f(0)$ ?
\item Déterminer, en le justifiant, $f'(\ln 2)$ et $f'(0)$.
\item Quelle est la limite de $f$ en $-\infty$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\emph{On admettra maintenant que $f$ est la fonction définie sur $\R$ par}
\[f(x) = \text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 6\]
\emph{et on se propose dans cette partie de retrouver par le calcul les résultats obtenus graphiquement dans la partie A.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout nombre réel $x :  f(x)  = \left(\text{e}^x - 2\right)^2 + 2$.
\item  Calculer $f(\ln 2)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty.$
		\item Quelle propriété de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, présentée dans la partie A est ainsi confirmée ?
 	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en utilisant l'expression de $f(x)$ donnée en \textbf{B. 1}.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que pour tout nombre
réel $x$,

\[f'(x) =  2\text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} - 2\right).\]

		\item Résoudre sur $\R$ l'équation $f'(x) = 0$.
		\item Résoudre sur $\R$ l'inéquation $f'(x) > 0$.
 	\end{enumerate}
\item En déduire sur $\R$ le tableau de signes de $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. Indiquer la valeur exacte de $f(\ln 2)$ et les limites trouvées en \textbf{B. 3. a.} et \textbf{B. 4.}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 7$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$. Donner, en le justifiant, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{PARTIE C	Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que  la fonction $F$ définie sur $\R$ par :

\[F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 6x\]
 
est une  primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
\item  Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.
\item  Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,0)(4,8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,0)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-5,0)(4,8)
\psline[linestyle=dashed](0.69,0)(0.69,2)
\uput[d](0.69,-0.07){$\ln 2$}
\uput[u](4,0){$x$}\uput[r](0,8){$y$}
\uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1.5,7.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{1.493}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 4 mul sub 6 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}