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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2000~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux } \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Une enquête a été effectuée auprès de $450$~jeunes titulaires d'un baccalauréat d'enseignement général ou technique, $3$ ans après l'obtention de leur diplôme :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 20\:\% sont titulaires d'un bac STI ; 
\item[$\bullet~$] le tiers des 450~jeunes interrogés ont un emploi ; 
\item[$\bullet~$] 220 continuent leurs études; parmi eux, 15\:\% sont titulaires d'un bac STI ; 
\item[$\bullet~$] 95\:\% de ceux qui sont au chômage sont titulaires d'un bac autre que STI.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{3}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}>{\small}c|}\hline
\diagbox{Nature \\du Bac}{Situation}& Ont un emploi&Continuent leurs études &Sont au chômage &Total \\ \hline
Bac STI		&	&		&	&  \\ \hline 
Autre Bac	&	&		&	&  \\ \hline 
Total		&	&220 	&	&450 \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
 
On choisit un jeune au hasard parmi les $450$~interrogés.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les probabilités des évènements suivants :
		 
$A$ : \og le jeune a un bac STI \fg{} ;
 
$B$ : \og le jeune continue ses études \fg. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A ~\cap~ B$.

Déterminer la probabilité de l'évènement $A ~\cup~ B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A ~\cup~ B$.
		
Déterminer la probabilité de l'évènement $A ~\cup~ B$.
		\item le jeune choisi au hasard est titulaire du bac STI. Quelle est la probabilité $p$ pour qu'il ait un emploi ?  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
 
On désigne par A le point d'affixe $Z_{\text{A}} = 2 + \text{i}\sqrt{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : 

\[z^2 + 2\sqrt{2}z + 6 = 0.\]
 
On appelle $z_{\text{B}}$ la solution de cette équation dont la partie imaginaire est positive.
 
Placer dans le plan complexe les points A et B d'affixes respectives $Z_{\text{A}}$ et $Z_{\text{B}}$. 
 
\item  Montrer que les points A et B appartiennent au cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon $\sqrt{6}$.
\item  Soient I, J et K les points d'affixes respectives $z_{\text{I}},~ z_{\text{J}}$ et $z_{\text{K}}$ telles que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]$z_{\text{I}} = 2\text{i}$ ; 
\item[$\bullet~$] $z_{\text{J}}$ est le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{3\pi}{4}$ ; 
\item[$\bullet~$] $z_{\text{K}} = - z_{\text{J}}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme algébrique de $z_{\text{J}}$. 	
		\item Placer les points I, J et K dans le plan complexe.
		
Quelle est la nature du triangle IJK ? Justifier. 

Donner le rayon du cercle $(\mathcal{C}')$ circonscrit au triangle IJK.
	\end{enumerate} 	
\item Soit E l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la relation : 

\[2 < |z| < \sqrt{6}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer les cercles $(\mathcal{C})$  et $(\mathcal{C}')$.
		\item Représenter l'ensemble E sur le graphique précédent à l'aide de hachures.

Justifier.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

le but de ce problème est d'étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = - \text{e}^{2x} + 4\text{e}^x - \dfrac{7}{4}.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $2$~cm).

\medskip
 
\textbf{Partie A - Résolution d'une inéquation}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation d'inconnue $y$ : 

\[- y^2 + 4y - \dfrac{7}{4} \geqslant  0\]

\item  Déduire de la question précédente que l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $- \text{e}^{2x} + 4\text{e}^x - \dfrac{7}{4}$ est positif ou nul est l'intervalle $\left[- \ln 2~;~\ln \dfrac{7}{2}\right]$.
 
(On pourra poser : $\text{e}^x = y$.)
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de sa courbe  représentative}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
		 
En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation. 
		\item  Montrer que :
		 
\[f(x) = \text{e}^x\left(- \text{e}^x + 4 - \dfrac{4}{4\text{e}^x}\right).\]

En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. Montrer que $ f'(\ln 2) = 0$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ élément de $\R$ et en déduire le tableau de variations de $f$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de E, point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des ordonnées.
		\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ en ce point. 
	\end{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous en donnant pour $f(x)$, lorsque c'est nécessaire, des valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-4$	&$-2$	&$-1$	&0	&$\ln 2$&1	&$\dfrac{3}{2}$ \\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&	&		&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer avec précision la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C - Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$. 
\item À l'aide de la partie A, étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
 
Préciser les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
\item  On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, de la portion du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses. 

Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une approximation décimale à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}
\end{document}